导语：数学思维系列之维度和向量如何帮助我们解释现实世界？

在数学中，抽象空间可以用来表示各种系统。

这些对于创建对真实现象的准确描述、理解其行为甚至预测或控制其演变很有用。

一维系统

当单个数字或变量足以表示系统时，我们可以使用一条直线上的一个点来创建图形表示。在数学中，这称为一维空间或一维空间，因为我们可以选择单个方向或轴上的数字值。

图 1.实线是一维空间的一个例子。

我们可以从原点建立相对位置，并确定变量x的位置。正值位于原点右侧，负值位于左侧。

图 2. x = 2 表示在原点的右侧。

图 3. x = -2 表示在原点的左侧

现在我们给出两个例子，其中系统的位置可以使用单个变量来表示。

在第一个示例中，我们有一个可以简化的弹簧质量系统，假设力与弹簧的伸长率 ( x ) 成正比且方向相反。这将导致系统振荡，因为力会在弹簧膨胀时将质量向内拉，并在收缩时将质量向外推。

图 4. x 表示一维弹簧质量系统的位置。

在第二个例子中，我们有一个简单的钟摆，由于重力对固定在刚性杆末端的质量的影响而摆动。

在这种情况下，垂直线和刚性杆之间的角度 theta 足以描述摆的位置，但是，这并不能完全确定系统的状态，因为质量可能具有不同的速度值，具体取决于在其初始状态。

图 5.希腊变量 theta 表示单摆与垂直线的夹角。 图 5.希腊变量 theta 表示单摆与垂直线的夹角。

二维系统

如果我们要表示具有多个变量的系统，我们需要额外的维度来表示它们的值，我们可以创建一条垂直线来同时表示 2 个变量x和y的值，得到一个二维空间或 2-空间。

图 6.真实平面是二维空间的一个例子。

使用两个变量，我们可以将系统表示为地图中的点或球体表面上的点，因为只需要纬度和经度即可指向特定位置。

图 7.地图中的一个点可以用它的 (x, y) 坐标定位。 图 7.地图中的一个点可以用它的 (x, y) 坐标定位。

图 8.一对纬度和经度定位球体表面的一个点。

我们还可以表示一个人的身高和体重，使用以下公式计算体重指数：

图 9.体重和身高值的不同组合的身体质量指数。

图 9.体重和身高值的不同组合的身体质量指数。

三维系统

通过三个变量，我们可以引入第三个轴和对应于三维空间中的一个点的三元组数字(x, y, z) 。

现在我们可以用 3 个变量表示系统，例如 3 维空间中粒子的位置：

图 10.粒子在 3 维空间中的位置。

由温度、压力和体积描述的热力学系统的状态。根据变量值，系统将处于特定的物理固定或临界状态，其中变量值的小扰动将导致状态转换。

图 11.热力学系统中不同温度、压力和体积值的状态转换表示。

另一个例子是使用 3 维颜色空间（如 RGB 表示）的图像像素的颜色，其中当我们改变(r,g,b)向量的值时，我们将在颜色空间中生成不同的颜色。

图 12.三维 RGB 色彩空间。 图 12.三维 RGB 色彩空间。

矢量和物理系统

许多熟悉的物理系统包含涉及大小和方向的变量，例如施加到物体上的力、速度和加速度。

具有大小和方向的实体称为“向量”，可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小。

图 13.三维矢量表示。

例如，在弹簧质量系统中，弹簧的位置和力以及质量的速度由矢量表示。

图 14.弹簧质量一维系统中力和速度的矢量表示。 图 14.弹簧质量一维系统中力和速度的矢量表示。

使用多维坐标系，我们可以描述点和向量在空间中的位置，在代数上用有序对或 n 元组表示，在几何上用空间中的点或从原点开始到点结束的箭头表示。

n 维空间中的点和向量具有相同的属性，我们决定如何将它们可视化并没有区别，无论是使用单个点，还是绘制连接点与原点的线段。

超过三个维度

使用笛卡尔坐标系等坐标系，我们一次只能可视化 3 个维度，但从数学上讲，没有什么能阻止我们同时考虑其他变量和更大维度的空间。我们可以使用关联维度的相应数量来索引新变量：

对应于n维空间中的一个点。

我们可视化第 4 维的一种可能方法是通过粒子在 3 维空间中的运动，为此，对应于时间的第 4 维是从 3 维空间中的一系列点获得的，由移动点。这种方法可以帮助我们表示 3 维空间上的一组点，对于每个时间值，我们都有一个单独的 3 维向量。考虑到每个点都有一个时间值，它们对应于 4 维空间中的一个点。

图 15.三维点(x, y, z)集合的表示，当被视为随时间变化的移动点(x_t, y_t, z_t, t)时，对应于四维点的集合。

理解向量不仅对于掌握几何和线性代数至关重要，而且在物理学、计算机图形学和机器学习等领域也具有深远的影响。

这是介绍使用几何、线性代数和微积分进行数学建模的系列文章中的第一篇。

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