正弦定理的几种证明方法(正弦定理的证明体现了哪些思想方法)

导语：简要解读关于正弦定理的证明(小知识点)

关于正弦定理的证明，现在我们从两个方面进行解读。

一、利用直角三角形解读正弦定理的证明

我们知道在直角三角形ABC中，<A，<B为互余角。<C为直角。<A的对边为a，<B的对边为b，<C所对的斜边为c

∵a/c=sⅰnA，∴c=a/sinA

∵b/c=sⅰnB，∴c=b/sⅰnB

∵c/√(sin²A+sin²B)，∴c/sinC

(注意:sin²A+sin²B=1

即:sinC=1)

∴a/sinA=b/sinB=

c/sinC

(即:正弦定理)

二、利用斜三角形解读正弦定理的证明

在上面我们已经利用直角三角形解读了正弦定理的证明，实际也间接的告诉我们怎样用正弦定理解直角三角形。

现在我们利用斜三角形来解读正弦定理的证明，由于任意一个三角形都可以分解为两个直角三角形，所以我们可以把解斜三角形的问题就转化为解直角三角形的问题。

下面我们证明，在任意三角形ABC中

a/sinA=b/siB，其中a，b分别是<A，<B的对边。

我们按着<A是锐角，钝角，直角三种情况来进行解读。

(1)、当<A是锐角时，作高CD，这样就把三角

形ABC化分为直角三角形ADC和直角三角形BDC。

则在直角三角ADC中

∵CD/b=sinA

∴CD=bsinA

在直角三角形BDC中

∵CD/a=sinB

∴CD=asⅰnB

∵CD=bsinA，CD=asinB

∴bsinA=asinB，

∴a/sinA=b/sinB

(2)、当<A为钝角时，延长BA至D，作高CD、在直角三角形BDC中，CD=asinB、

在直角三角形ADC中CD=dsinA

注意:在直角三角形ADC中<D所对的边d为原斜三角形ABC中，<B所对的边所以CD=bsinA

∵CD/a=sinB，∴CD=asinB

CD/b=sinA，∴CD=bsⅰnA

∴asinB=bsⅰnA

∴a/sinA=b/sinB

(3)当A为直角时，则三角形CAB中、b=asinB，<A=90度、可知sinA=1

∴asinB=bsinA、

∴a/sinA=b/sinB

同理可证:

b/sinB=c/sⅰnC

把a/sinA=b/sⅰnB与

b/sinB=c/sinC这两个等式连结起来就得到:

a/sinA=b/sinB=

c/sinC

我们看到的这个连等的式子就是正弦定理。

实际上就是三角形各边和所对角的正弦值相等。它的每一个等式都表示三角形的两个角和它们对边之间的关系。在这四个元素中，知道其中三个元素就可以求出另一个元素，所以利用正弦定理可以解决两个问题。

1、已知三角形的两角和一边求其它的边和角。

2、已知三角形的两边和一角求其它的边和角。

关于正弦定理的证明，就简要的解读到这里。在解读过程中有些判断语言是我的观点，不一定正确。如果有与教材不相符的地方，则以现行教材为准。这个讲义稿仅供参考。有错误的地方，请审核老师和同学们批评指正。谢谢！

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