初中数理化竞赛题(初中数学竞赛解题方法大全)

导语：初中数学竞赛题化简，能不能上大学就看这三题，一般考生只能放弃

题一、 化简：√√(11+6√2)+√(11−6√2)−√√(11+6√2)−√(11−6√2)

分析题目分析题目，复杂的三重根式化解，难度不小，两个根式虽然看似是共轭式子，但如果整体平方再开方，又纠缠在一起，所以我们对两个项次分别处理，因为两个式子形式是一样的，所以处理方式其实也是一样的，并不会增加难度，据此分析我们首先来分析第一个项次下面的式子，即，√((11+6√2)+√(11−6√2))

这仍然是两个共轭根式的差，那我们直接平方再开方，这样无论是二次项还是交叉项都能抵消掉一部分根式，即得到，√((11+6√2)+√(11−6√2))=√(√(11+6√2)+√(11−6√2))²

直接展开根式下面的平方，显然，二次项的根号与平方抵消掉了，刚好根式下面的两个6倍根号二抵消掉了，则剩下两个11，即得到，√((11+6√2)+√(11−6√2))=√(22+2√(11+6√2)√(11−6√2))

可以看出交叉项的两个根式下面的式子刚好构成平方差公式，展开后得到，√((11+6√2)+√(11−6√2))=√(22+2√(121−72))

继续整理，由121减去72=49，刚好是7的平方，即得到√((11+6√2)+√(11−6√2))=√(22+14)

最后算得√((11+6√2)+√(11−6√2))=6

接着我们以同样的处理方式处理原式的第二个项次根式下面的式子，即得到√(11+6√2)−√(11−6√2)=√(√(11+6√2)−√(11−6√2))²=√(22−2√(11+6√2)√(11−6√2))=√(22−2√(121−72))=√(22−14)=√8，

据此计算，则原式=√6−⁴√8

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题二、化简√(4+2√((√3+1)³−6√3−7))

分析题目分析题目，无理数化简，三重根式无理数，看似复杂，我们只需要从里往外逐层求解即可，据此分析我来解题，首先，利用和的三次方展开式展开(√3+1)³，即得到，(√3+1)³=(√3)³+3(√3)²+3√3+1

展开后合并同类项得到，(√3+1)³=10+6√3

接下来，将上述等式代入到原式得到，原式=√(4+2√(10+6√3−6√3−7)

可以看出里面的6√3抵消掉了，整理得到，原式=√(4+2√3)

接下来我们尝试拆分和为4的两个数，凑出乘积为3，显然，拆分为3和1即可，即得到原式=√(4+2√3)=√(3+1+2√3)

刚好是一个完全平方式，合成后得到，原式=√(√3+√1)²

平方与根式抵消掉了，最后整理得到，原式=√3+1

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题三、化简：S=³√(20+14√2)+³√(20−14√2)

分析题目分析题目，双三次根式化简，硬凑完全立方似乎难度有点大，那我们就常数变量化，转换为一元三次方程来求解，即，直接引入参数p和q，设定，p=³√(20+14√2)，q=³√(20−14√2)

则，显然，p乘以q就是三次根式下面的平方差公式，即得到，pq=³√(20+14√2)∗³√(20−14√2)

最后算得pq=2，同样两者的立方和，即，p³+q³=20+14√2+(20−14√2)

可以看出根式抵消掉了，最后算得p³+q³=40

接下来我们就利用这两个等式构造一元三次方程，考虑到立方和公式展开，p³+q³=(p+q)(p²−pq+q²)

继续对第二个乘积项凑p+q的完全平方式，即得到，p³+q³=(p+q)((p+q)²−q)

整理后得到，(p+q)³−q(p+q)−(p³+q³)=0

则显然，p+q就是我们所求的S，pq的值刚才已算得，p³+q³也已算得，代入后得到，S³−6S−40=0

这样所求的S就转换为一元三次方程了，整系数一元三次方程，很容易拆分常数项的40为64和24，即得到，S³−64−6S+24=0

这样前两项立方差因式分解可以产生S−4因子，后两项提取系数6后也产生S−4因子，即得到，(S−4)(S²+4S+16)−6(S−4)=0

两个式子乘积为0，那只能是分别等于0，但预期第二个乘积项恒大于0，那我们凑个完全平方式确认下，即得到(S−4)((S+2)²+6)=0

可以看出第二个乘积项恒大于等于6，那只能第一个乘积项=0，即最后算得S=4

参考答案

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