一次函数和抛物线相交问题(一次函数线平行的性质)

导语：一次函数与抛物线的综合题，运用平行线分线段成比例定理是关键

各位关注数学世界的老朋友和新朋友，大家好！数学世界今天将继续为大家分享初中数学中比较有代表性的二次函数综合题，笔者希望通过对习题的分析与讲解，能够为广大初中生学习二次函数的知识提供一些帮助！

一直以来，数学世界都是精心挑选一些数学题分享给大家，希望由此激发学生们对数学这门课程的学习兴趣，并能给广大学生学习数学这门课程提供助力！

今天，数学世界分享一道关于一次函数与二次函数的解答题，涉及了一次函数与二次函数关系式的求法及平行线分线段成比例定理等知识。下面，数学世界就与大家一起来看题目吧！

例题：（初中数学函数综合题）如图，已知抛物线y=ax^2过点A（-3，9/4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知直线l过点A，M（3/2，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC^2=MA·MB

知识回顾

平行线分线段成比例定理：指的是两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例。推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例.

一次函数及图象：一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-b/k，0）两点的一条直线.

分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）

首先利用待定系数法即可求出抛物线和直线的解析式，再构建方程组确定点的坐标，然后利用平行线分线段成比例定理求出线段的比，即可解决问题．

解：（1）把点A（-3，9/4）代入y=ax^2，

（待定系数法是求函数解析式的主要方法）

得到9/4=9a，

∴a=1/4，

∴抛物线的解析式为y=1/4 x^2．

（一般来说，第一小题都是很简单的）

（2）设直线l的解析式为y=kx+b，

（设出一次函数的一般形式）

∵直线l过点A（-3，9/4），M（3/2，0），

∴9/4＝−3k+b，

0＝3/2 k+b，

（得到关于k，b的方程组）

解得k＝-1/2，

b＝3/4，

∴直线l的解析式为y=-1/2 x+3/4，

（一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-b/k，0）两点的一条直线）

令x=0，得到y=3/4，

∴C（0，3/4），

联立y=1/4 x^2，

y=-1/2 x+3/4，

（求函数图象交点的方法）

解得x＝1，y＝1/4，

或x＝-3，y＝9/4，

∴B（1，1/4），

如图，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，

则BB1∥OC∥AA1，

（平行线分线段成比例定理）

∴BM/MC=MB1/MO，

MC/MA=MO/MA1，

∵MB1=3/2-1=1/2，MO=3/2，MA1=3/2-（-3）=9/2，

（直接运用点的坐标计算得出）

∴BM/MC=1/3=MC/MA，

即MC^2=MA·MB．

（完毕）

这道题属于二次函数综合题，考查了用待定系数法求函数关系式及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用坐标计算出线段的长，以便解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。

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