函数值与函数表达式的求解(函数值与函数表达式一样吗)

导语：函数值与函数表达式

1.已知f(x-1)=19x^2+55x-44,求：f(x).

解：令y=x-1,代入原式中，有

f(y)=19(y+1)^2+55(y+1)-44

=19y^2+93y+30.

所以f(x)=19x^2+93x+30.

2.若函数g(x)=1-x^2,f[g(x)]=(1-x^2)/x^2,求f(3/4).

分析一下，我们只要将满足g(x)=3/4的x值求出来，然后代入f[g(x)]即可.

解：g(x)=1-x^2=3/4,所以x^2=1/4,即

x=1/2和-1/2.

因此

f(3/4)=f[g(1/2)]=[1-(1/2)^2]/(1/2)^2=3.

=f[g(-1/2)]=[1-(-1/2)^2]/(-1/2)^2=3.

3.已知y=y1+y2^2,其中y1与x成正比例函数，y2与x成反比例函数，且当x=2,x=3时，y的值都是19.求y关于自变量x的函数表达式.

分析一下，将y1与y2分别用与x所成的函数关系来代替，从而转化为y与x的关系式，再利用所给条件列出方程组即可求解。

解：设y1=k1x,y2=k2/x,其中k1,k2均不为零。则

y=y1+y2^2=k1x+(k2/x)^2=k1x+k2^2•(1/x^2).

由于当x=2,x=3时，y的值均为19，因此可有：

2k1+(1/4)k2^2=19, ①

3k1+(1/9)k2^2=19. ②

①×（1/9）-②×（1/4）可得：

（2/9-3/4）k1=19/9-19/4.

所以k1=5,

k2^2=4(19-2×5)=4×9=36.

因此所求的函数表达式为：

y=5x+36/x^2.

4.设二次函数f(x)=ax^2+bx+c满足条件：f(0)=2,f(1)=-1,且其图像在x轴上截得的线段长为2✓2.求这个二次函数。

分析一下，若已知条件中，有两个是函数值，一个是其它条件的话，一般是先通过已知的两个函数值的条件得到关于常数间的关系式，然后再来考虑其它的条件。

解：由f(0)=2,f(1)=-1可得

c=2,

a+b+c=-1, 即c=2,b=-(a+3).

因此，所求的二次函数是：

y=ax^2-(a+3)x+2.

二次函数的图像在x轴上所截得的线段长实际上就是方程ax^2-(a+3)x+2=0两根差的绝对值。

设方程的两根为x1,x2,则

2✓2=|x1-x2|=✓(x1+x2)^2-4x1x2

=✓[(a+3)/a]^2-4•(2/a),

且△=(a+3)^2-4•2•a>0.

于是可得a=1或a=-9/7.

故所求的二次函数为

y=x^2-4x+2或y=-9/7x^2-12/7x+2.

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