1987年高考数学压轴题考查抛物线与直线的题(1987年高考数学理科试题)

导语：1987年高考数学压轴题，考查抛物线与直线位置关系，学生：就这？

大家好！本文和大家分享一下这道1987年高考文科数学的压轴题。当年的这套文科试卷共有八道大题，其中第一题为选择题，第二题只要求直接写出结果，实际上相当于现在的填空题，后面六题均为解答题。从题型设置来说，与理科试卷基本一致，但是理科试卷多了一道附加题，不过附加题不计入总分。

1987年高考文科数学的这道压轴题考查的是抛物线与直线的位置关系、弦长公式、点到直线距离公式等知识，看起来难度不小，但是现在的高三学生看过题目后表示：就这？那么，这道题究竟难不难呢？下面我们一起看一下这道压轴题。

要求正方形的面积，关键是找出正方形的边长，下面和大家介绍两种解法。

解法一：

正方形ABCD的顶点C、D在抛物线上，也就是说直线CD与抛物线有两个交点，那么可以联立直线与抛物线的方程，用韦达定理求出线段CD的长。

由于正方形对边平行，所以CD//AB。又边AB在直线y=x+4上，所以可设直线CD的方程为：y=x+b。然后联立直线CD与抛物线方程，消去y，整理后可以得到方程：x^2+(2b-1)x+b^2=0。此时，根据弦长公式就可以求出边CD的长度，即|CD|=√(2-8b)。

接下来，只需要求出b的值就可以得到CD的具体值了，怎么求呢？

因为四边形ABCD是正方形，所以|AD|=|CD|，所以只需要求出|AD|的长就可以得到关于b的方程，从而求出b的值。

由于AB//CD，所以|AD|的值也就等于直线AB和直线CD间的距离，所以由平行线间的距离公式可得：|AD|=|b-4|/√2。

故：|b-4|/√2=√(2-8b)，解出b=-2或b=-6，检验后均满足要求。接下来再求正方形面积即可。

弦长公式是高中数学直线与圆锥曲线位置关系中一个重要公式，但是还是有部分同学记不住。其实，记不住弦长公式，也可以用两点间距离公式求解，只是计算量大一些而已，有兴趣的同学也可以自己做一下。

解法二：

点C、D在抛物线x=y^2上，那么可以设C(m^2,m)、D(n^2,n)，这也是比较常用的一种设坐标的方法。

由于AB在直线y=x+4上，那么AB与y轴成45°角。又四边形ABCD为正方形，那么容易得到对角线AC平行于y轴，同理对角线BD平行于x轴。此时可以设出A(m^2,m^2+4)、B(n^2,n^+4)。

又由于直线CD的斜率为1，设AB与CD互相垂直平分即CD的中点在直线y=x+4上，从而可以得到关于m、n的方程组。解出方程组得到m、n的值，再求出边CD的长度，最后求出正方形面积。

对于现在的高三学生来说，本题的难度确实不算大，你觉得呢？

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