连续变量的累积分布函数(计算连续性随机变量需要用到哪些积分公式)

导语：积分的妙用——如何求连续变量的均值？

这是《机器学习中的数学基础》系列的第15篇，也是微积分的第8篇。

一说起均值，大家会觉得，这还不简单吗？加起来除以个数不完了吗？是的，但这是对于离散变量而言。举个例子，小明有3门课分别考了60、80、70分，那小明平均考了多少分呢？（60+80+70）/3=70。很简单，对吧。

那现在我有一个函数y=f(x)，我想求它在区间[a,b]上的均值，该怎么办呢？如下图：

图1

要知道，a、b之间的点有无穷多个，对应的值也有无穷多个，我总不能用∞/∞来计算均值吧。那到底该怎么做呢？别慌，看下图：

图2

我们把区间[a,b]等分为n个点，每个点之间的间距都是dx，那么点的个数n=(b-a)/dx。我们就先求这n个点的均值，很简单，n个点对应的高度之和除以n就是均值了。我们用公式来表示下，就是(y1+y2+...+yn)/n （1）。其中y1、y2...yn分别是n个点对应的函数值。

ok，之前我们已经知道，n=(b-a)/dx，代入到（1）式，那么n个点的均值就是(y1+y2+...+yn)/[(b-a)/dx]，我们把dx翻上去，写成(y1+y2+...+yn)dx/(b-a)。把分子展开，就是(y1dx+y2dx+...+yndx)/(b-a)。

神奇的一幕即将发生！y1dx在图2中代表什么呢？代表一个矩形的面积，这个矩形的长是函数值y1，宽是dx。那么y1dx+y2dx+...+yndx又代表什么呢？代表曲线下a、b区间内很多小长方形的面积，这些小长方形的长就是n个点分别对应的函数值，而宽都是dx。当n越来越大时，或者说当dx→0时，我们就认为长方形的面积之和就是曲线下[a,b]区间内的面积。别忘了，这部分面积可以用我们上一篇讲过的积分来求，也就是：∫f(x)dx（在[a,b]区间的积分）。

因此，函数y=f(x)在区间[a,b]上的均值就可以表示为：

我们假设函数f(x)的原函数为F(x)，因此上式又可表示为：

这是啥？这不就是原函数F(x)在a、b两点之间的斜率吗？如下图：

图3

那为什么会这样呢？我们知道，导数可以直观理解为斜率。F(x)的导数是f(x)，我们想要求f(x)在[a,b]的均值，也就是求F(x)的斜率在[a,b]的均值。那F(x)的斜率从a变化到b，就相当于a、b两点之间的斜率(F(b)-F(a))/(b-a)。

好了，这就是今天的全部内容，欢迎留言讨论。

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