函数y=x^3+7x^2+1的主要性质及其图像

主要内容：

本文主要介绍函数y=x^3+7x^2+1的定义域、单调性、值域、凸凹性及极限等性质，并通过函数导数知识，求解函数的单调和凸凹区间，同时简要画出函数的图像示意图。

函数定义域：

根据函数特征，函数右边表达式为自变量的多项式，即可取任意实数，故函数的定义域为：(-∞，+∞)。

函数单调性：

用导数的知识来判断函数的单调性，并求解函数的单调区间。

∵y=x^3+7x^2+1,

∴dy/dx=3x^2+14x

=x(3x+14)。

令dy/dx=0,则x1=0，x2=-14/3。

(1)当x∈(-∞,-14/3)，(0,+∞)时，dy/dx>0,此时函数为增函数，即区间为增区间。

(2)当x∈[-14/3,0]时，dy/dx<0,此时函数为减函数，即区间为减区间。

函数凸凹性：

∵dy/dx=3x^2+14x

∴d^2y/dx^2=6x+14,令d^2y/dx^2=0，则：

x=-7/3,且有：

(1)当x∈(-∞，-7/3)时，d^2y/dx^2>0,则此时函数为凹函数。

(2)当x∈[-7/3，+∞）时，d^2y/dx^2<0,则此时函数为凸函数。

函数的极限：

lim(x→+∞) x^3+7x^2+1=-∞;

lim(x→0) x^3+7x^2+1=1;

lim(x→-∞) x^3+7x^2+1=+∞;

根据函数的极限可知，函数的值域为(-∞，+∞)。

函数的五点图：

函数的图像：

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