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高考导数题难吗(高考导数难在哪里)

导语:这道高考导数问题有点难,但老黄觉得它出得不够严谨,你怎么看呢

这是高考数学的一道真题,利用导数求单调性并且证明不等式的问题,是高考数学最常见的压轴题之一,题目是这样的:

已知函数f(x)=x(1-lnx). (1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b, 证明:2<1/a+1/b<e.

【第一小题是送分题,可以快速解决,只要对函数求导,就可以发现其单调性。依据是:导数大于0时,函数增;导数小于0时,函数减。这个知识点将贯穿全题】

(1)解:f’(x)= -lnx, 当0<x<1时, f(x)是单调增的; 当x>1时, f(x)是单调减的.

【第二小题所给的等式,必须进行一个变形】

(2)证明:由blna-alnb=a-b得,(1-ln(1/a))/a=(1-ln(1/b))/b, 即f(1/a)=f(1/b),

不妨设0<1/a=u<1<v=1/b<e, 【为了下面描述的方便,所以对它们进行换元。至于到底是1/a大还是1/b更大,这是没有关系了,设定就好】

当v≥2时, u+v>2; 当1<v≤e-1时, u+v<e. 【先给定特殊情况的结论,再证明剩余的情形,这种方法在高考数学压轴题的解题过程中是很常见的。】

当1<v<2时, 0<2-v<1,【这就使得u,和2-v都在f(x)的单调递增 区间上,以便下面利用单调性,比较它们的大小】

记 g(v)=f(u)-f(2-v)=f(v)-f(2-v), 【构造辅助函数,是关于导数的问题最重要的手段之一。】

因为g’(v)=-lnv-ln(2-v)=-ln(2v-v^2)>0,

所以f(u)>f(2-v), u>2-v, 即u+v>2, 【这是函数f在(0,1)上单调递增的性质决定的】

【至此u+v>2得证,接下来再证u+v<e,这一步很容易出错。一定要把它想明白了哦。】

当e-1<v<e时, 0<e-v<1, 记 h(v)=f(u)-f(e-v)=f(v)-f(e-v), 【这个函数的导数性质不那么好求】

由h’(v)=-lnv-ln(e-v)=-ln(ev-v^2)知, 存在v0>e-1使ev0-v0^2=1,

【其实ev-v^2=1有两个解,另一个小于1,对这道题没有意义,所以不用考虑。至于为什么会有一个解v0=e-1,就要通过解方程之后证明了,但这一步可以省略。之所以要取ev-v^2=1,就是要取导数的零点,这样才能了解h(v)的增减性,以求得它的零点】

因为当v∈(e-1,v0)时, h(v)单调减,当v∈(v0,e)时, h(v)单调增,

所以h(v)<h(e-1)=f(e-1)-f(1)<0,

【来到这里,参考答案就准备给出结果了,但老黄觉得,这里并不严谨,还要考虑h函数在e点的左极限的情况,但这方面涉及到高等数学极限的知识,所以老黄觉得这道题出得有点不够严谨,或者说有点超纲。就参考答案来说,是不够严谨的】

或者 h(v)<h(e-0)=f(e-0)-f(0+0)=0.【h在e是没有意义的,所以取它的左极限。代入h的解析式之后,就得到f(e)的左极限和f(0)的右极限都等于0,所以h(v)仍小于0。】

所以f(u)<f(e-v), u<e-v, 即u+v<e, 综上得证!

你觉得这道题怎么样呢?

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