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三角学的知识(三角恒等式是什么意思)

导语:三角学的认识及其恒等式

高中部分讲解了及其稀少的三角恒等变换,初略翻了一遍教科书,只论证了cos(α+β)的等式变换,但实际上有许多恒等的三角变换,它们是在解决代数式替换有利的工具,本文在读者理解cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ的基础上论证如何得出其它的恒等式。

首先要理解三角函数是怎么定义的,在直角坐标系的圆内一个直角三角形的斜边长为H,θ角对应的边为O,它的临边为A,则有下面的定义:

直角三角形三边形成的比

取一个单位圆,那么有:

单位圆上某点的坐标与角的关系

现在假定你已经有平面向量的基本知识,即矢量的数量积(点积)和矢量投影的概念,就可以很容易证明cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ。如图:在单位圆中设OM,ON的向量为u,v,根据向量的点积定义

u.v=(i cosα+j sinα)(i cosβ+j sinβ)

= cosα cosβ+sinα sinβ (1)

又因为根据u.v的物理意义代表力u(假设u是力)在v方向所作的功,只有余弦方向才做功,因此

u.v=IuI.IvIcos(α-β), 由于IuI=IvI=1. (2)

所以(1)=(2),故证明了cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ (3)

单位圆两个矢量半径

现在我们根据(3)来陆续推导其它三角公式。首先要有一些基本的诱导公式,如下图:.

三角诱导公式

现在用诱导公式和(3)推导cos(α+β)的公式

cos(α+β)=cos[α+(-β)]= cosα cos(-β)+sinα sin(-β)= cosα cosβ-sinα sinβ

同理利用诱导公式可推导正弦的差和公式

sin(α+β)= cos[(π/2-α)-β]=cos(π/2-α)cosβ+sin(π/2-α)sinβ=sinα cosβ+cosα sinβ

利用这种方法大家推导其它的两个角的和差恒等变换,这里给出公式:

和积公式

由上式很容易推导出倍角公式:

倍角公式

有时候还会用到由倍角变成单角的三角变换:

单角公式

由上面公式很容易求得半角公式,只要令θ=α/2带入即可:

半角公式

另外还会遇到积化和差的问题,这里给出一个推导过程:

其它自己按上述方法可证如下积化和差的公式:

积化和差

将上式中的α用(α+β)/2代替, β用(α-β)/2代替后带入积化和差公式可得和化积差公式:

和化积差

至此我们已经列出了课本中没有列出的三角恒等式,我们利用诱导公式和证明得出的cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ推导出了一系列公式,它们不需要死记硬背,忘了可以自己推导。

最后为了帮助大家记住cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ 和sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ,讲个用联想的记忆方法。

说的是小明学习不用心,没有学好三角变换,挨了老师的训,东北话叫挨抠(即抠赛因cosin=cos)心情比较抑郁,一天没吃饭,减掉了很多肉(即cos(α+β)展开的中间用减号)。后来老师教他方法怎么推导和记忆,他很快就学会了,他在操场上晒阳光(赛因sin开头),心情非常愉快,当天饭也吃多了,体重也增加了(即sin(α+β) 展开的中间用加号)。

本文内容由小涵整理编辑!