导语：数学的推理和命题

什么是数学的推理?

数学推理或数学推理的原理是数学的一部分，我们确定给定语句的真值。这些推理陈述在大多数考试中很常见。这篇文章谈一谈什么是数学推理，知道如何简单地解决问题。

数学可接受的陈述

考虑一下下面的陈述:

由于两个质数的和既可以是偶数也可以是奇数，所以给定的命题可以是真，也可以是假。这样的陈述在数学上是不可接受的，因为这个句子是含糊不清的。因此，一个句子只有在“要么是对的，要么是错的，但不能同时是对的”的情况下才能在数学上被接受。因此，数学推理所需要的基本实质是陈述。

数学推理的种类

在数学方面，推理可以分为两种主要类型:

1. 归纳推理

2. 演绎推理

其他类型的推理是直觉，反事实思维，批判性思维，逆向归纳和溯因归纳。这是用于做决定的7种推理。但是，在数学中，归纳和演绎推理是常用的，下文将对此进行讨论。

注:归纳推理是非严格的逻辑推理，陈述是广义的。另一方面，演绎推理是严格的逻辑推理，如果进入演绎的假设是真实的，陈述被认为是真实的。因此，在数学中，演绎推理被认为比归纳推理更重要。

归纳推理

在数学推理的归纳方法中，用一定的规则来检验陈述的有效性，然后将其推广。数学归纳法的原理使用了归纳推理的概念。

由于归纳推理是一般化的，所以在几何证明中不考虑它。这里有一个例子，它将有助于更好地理解数学中的归纳推理。

归纳推理的例子:

陈述:原材料成本是10元，生产该产品的劳动力成本是5元。这件商品的销售价格是50元。

推理:从上面的陈述，可以说，商店出售该商品将提供一个很好的利润。

演绎推理

演绎推理的原则与归纳法的原则相反。与归纳推理不同，在演绎推理中，我们将一般情况的规则应用于一个给定的命题，并使它对特定的命题成立。下面给出的例子将有助于更好地理解数学中演绎推理的概念。

演绎推理的例子:

表述:勾股定理对任何直角三角形都成立。

推理:如果三角形XYZ是直角三角形，它将遵循勾股定理。

推理语句的类型

主要有三种类型的推理语句:

•简单语句

•复合语句

•如果- 那么语句

简单语句

简单语句是那些直接且不包含任何修饰符的语句。这些陈述更容易解决，不需要太多的推理。一个简单语句的例子是:

太阳从东方升起

在这句话中没有修饰语，因此可以简单地总结为真。

复合语句

在某些连接词的帮助下，我们可以得到不同的陈述。由两个或两个以上的命题组成的命题称为复合命题。这些连接词可以是， 等等。

有了这样的表述，数学推导的概念就可以很容易地实现。为了更好地理解，考虑以下示例:

表述一:偶数能被2整除

表述二:2也是偶数

这两个陈述可以组合在一起:

复合命题:偶数能被2整除，而2也是偶数

现在让我们从给定的复合语句中找出下列语句:

复合陈述:一个三角形有三条边并且内角和是180°。

这个语句的表述是:

表述一:三角形有三条边。

表述二:三角形内角之和为180°。

这两个关于三角形的表述在数学上都是正确的。这两个语句用“并且”连接起来。

如果 – 那么语句

根据数学推理，如果我们遇到一个如果-那么命题，即，如果 a 那么 b，那么通过证明a为真，则b为真，反过来如果证明b为假，那么a也为假。

如果我们遇到一个命题说‘a当且仅当b’，那么我们可以给出这样一个命题的理由，证明如果a为真，那么b也为真，如果b为真，那么a也为真。这说明a是b的充分必要条件，反之亦然。

例子:

a: 64是8的倍数

b: 8是64的因数

由于给定的一个命题，即a为真，因此a或b为真。

如何推导数学命题?

在推导新的报表或从给定报表作出重要的推论时，一般采用三种方法:

1. 对给定语句的否定

2. 矛盾的方法（反证法）

3. 反例的举证

让我们逐一看看这三种方法。

对给定语句的否定

在该方法中，我们通过拒绝给定的语句，从旧语句中生成新的语句。换句话说，我们否认给定的陈述，并将其表示为一个新的陈述。考虑下面的例子以更好地理解它。

表述一:两个自然数的平方和为正

现在如果我们否定这个命题，

表述二:两个自然数的平方和不为正。

在这里，通过使用“不”，我们否定了给定的命题，下面的内容可以从命题的否定性中推断出来:

有两个数，它们的平方加起来不是正数。

这是一个“错误”的陈述，因为两个自然数的平方是正的。

从上面的讨论，我们得出结论，如果(1)是一个数学上可接受的命题，那么命题1的否定命题(由命题2表示)也是一个命题。

反正法

在这种方法中，我们假设给定的陈述（结论）是错误的，然后试图证明这个假设（前提）是错误的。

例如:

命题a: 是无理数。

假设上述命题错误，即是有理数，那么根据有理数定义，它可以表示出两个互为质数的商，即， 其中m,n没有公因数，

所以2=m2/n2， ， 即m2=2n2, 由此等式可知m2是个偶数， 那么m也是个偶数，这样可令m=2p, 带回m2=2n2， 可得n2=2p, 同理可知n是偶数，那么令n=2q, 这样m和n都有因数2，这是与已给m,n互质，没有公因数矛盾的， 所以2的平方根是无理数。

因此，我们的假设是错误的，命题a是一个有效命题。

反例证明

另一种证明有效性的方法是使用反命题，即给出一个命题或一个给定命题无效的例子。

例子:

a:如果x是质数，那么x总是奇数。

为了证明给定的语句是假的，我们将试图找到一个反例。我们知道2是质数，也就是说它只能被自身和1整除。而且，2是最小的偶数。因此，我们可以说2是偶数的质数。因此，我们可以说命题“a”不是对所有质数都成立，因此，给定命题是无效的。

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