学习数学的“三板斧”

本文作者刘瑞祥，[遇见数学]感谢刘老师一直来的关注和支持！

要学会一个数学知识，一般要从三方面入手：是什么？为什么？怎么用？我把这三个问题比作“三板斧”，意思是说，如果你能回答出这三个问题，就可以说是掌握了这个知识点。

所谓“是什么”，就是概念的定义或者定理的原文，要知道哪些东西属于这个概念，哪些东西不属于这个概念，定理的前提和结论是什么，如此等等。所谓“为什么”，就是要明白为什么要引入这个概念，或者这个定理在整个体系中的意义。所谓“怎么用”，就是要会用这个定理解题。

我们先来看一个比较简单的概念——三角形。它的定义当然是很简单的，这里不再重复。那么为什么要引入这个定义呢？或者说，三角形在整个初等几何中的意义是什么呢？窃以为可以从三方面来说：首先是单独的一个三角形本身就有很多性质，比如等边对等角、内角和等于 180°、勾股定理等等，其次两个三角形之间可能有全等或者相似这两种重要的关系，再次是三角形可以作为研究更复杂图形的工具，比如研究平行四边形的时候就经常用对角线把原来的图形变成两个或者四个三角形。至于三角形在题目里应该怎么用，就更多样了，但是大概总不超出以上范围。

我们再看初等数论中的“辗转相除法”，这是一种计算两个数最大公约数的方法，具体运算过程就不在这里啰嗦了。关于辗转相除法的第一个“为什么”是这种方法为什么成立，我相信学过的人自然明白，就不废笔墨了。接下来我们看为什么要引入这种方法。我们已经在小学数学课上学了一种计算最大公约数的方法——“短除法”。但是短除法的问题是如果两个数太大，特别是如果它们的公约数——除了 1 以外的——都比较大时，短除法很难看出两个数有什么公约数，一个个地尝试太麻烦了，而这种方法就很容易让你“一步一个脚印”地得到答案。然而辗转相除法的作用还不仅是计算最大公约数，还包括求解二元一次不定方程等用途。笔者没有学过数论，不好对辗转相除法再多说什么，相信读者会罗列出更多应用吧。

接下来我们看一下射影几何中重要的帕斯卡定理。这个定理的“是什么”不太好回答，因为它的变体很多。通常情况下我们是以圆锥曲线的内接六边形来引入的，但是一方面这个六边形的顶点顺序可以任意，另一方面这个六边形可以退化为五边形、四边形等等形式，其中我们可以把切点看做是重合的两个点。至于为什么要引入这个定理，我想可以从两方面回答：一是这个定理本身体现了不同圆锥曲线的共同点，二是这个定理本身有很多用处。关于这个定理的用处，我目前阶段因为是在思考（不好意思给自己的这些浅薄思考用“研究”一词）圆锥曲线作图问题，所以我的结论主要是作图方面的：比如在给定圆锥曲线五个点的条件下作出更多点，或者是作切线。这方面的具体用法可以见于我以前发表过的部分文章，这里不再赘述。

大家可以从我前面的叙述看出来，我对于“为什么”和“怎么用”这两方面的回答有很大一部分是重叠的。也就是说，我往往是从“用”的角度来看定义和定理的意义的。但是“为什么”偏于理论，而“怎么用”偏于实践。

不知道大家对以上内容是否满意。