从《登鹳雀楼》说起反函数和逆向思维

本文作者刘瑞祥，[遇见数学]感谢刘老师一直来的关注和支持！

“欲穷千里目，更上一层楼”是唐诗《登鹳雀楼》中的名句，如果我们从数学的角度来看，就会觉得这简直是在说“反函数”。

为什么呢？

因为平时我们习惯上，都是以自身所处高度为自变量，建立高度和视野半径的函数。但是这首诗里，先给出视野半径，然后求出高度，这可不就是反函数嘛。

一个函数（称为原函数）要有反函数，其中必须的一点是，这个原函数必须是一一对应的，否则就会出问题。比如大家知道(3-4)²=(4-3)²，但是如果你因此就认为3-4=4-3，那可是犯了大错。而前面唐诗中例子里，高度和距离恰好是一一对应关系。如果不然的话，那最末一句就不一定非得是“更上一层楼”而可能是“更下一层楼”了。

一一对应在很多问题里非常重要，比如在测量温度的时候。制作液体温度计时，都是先根据温度定好刻度，使用的时候则是依据刻度得出温度。这也是一种反函数。我们常见的液体温度计都是用水银或者煤油作为测温物质的，为什么不用水呢？当然水的比热比较大，会在测温时带来（或者带走）很多热量，还有水会浸润玻璃，所以玻璃管不能做得太细等等都是原因，但是从数学上讲，水的体积和温度不是一一对应的，一般情况下虽然水也是热胀冷缩的，但是在0-4摄氏度时，水却是“热缩冷胀”的。

反函数是一种典型的“逆向思维”，数学里还有很多其它的逆向思维。从最初等的数学来看，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，开方是乘方的逆运算。注意，有人认为不能说加法是减法的逆运算，也不能说乘法是除法的逆运算，也就是说，此二者不是“互为逆运算”。我不知道这种说法是否有道理，录此备考。（乘方是不是开方的逆运算，我没有找到相关说法）

我们常见的证明方法“分析法”，也是其中一种逆向思维。通常我们证明几何题都是从已知条件出发，由甲证乙，由此及彼，一步步得到结论，此谓“综合法”。但是分析法却是从结论出发，采用“欲证某乙，只需证明某甲”的表达方式。有时一些题目不容易用综合法证明，就可以用分析法证明。

再比如，解析几何里主要有两大任务，一是从某些条件得出曲线满足的方程，二是从方程出发，研究曲线的性质。显然，这两个任务是互逆的。还有就是求导和积分，也是互逆的。

有些命题，形式上彼此为逆命题，但是证明难度却不可同日而语。比如求证等腰三角形两底角的平分线相等，只是初中课后练习的水平，而如果由角平分线相等来证明该三角形是等腰三角形，则难得多了。更有名的例子和哥德巴赫猜想有关：如果要证明两个不等于2的质数相加是偶数，这简直就是小学题目，但是如果要证明任何大于4的偶数都可以写成两个质数的和，那就成了世界级的难题。我曾经想过这样一个问题，已知若干数值x1,x2,x3...xn（这些数可能相等，也可能不等），构造一个以这些数值为根的多项式方程，当不为困难，且很容易证明这样的多项式为n次，但要证明一个n次方程恰好有n个根，难度就大多了。

实际上，成“逆”关系而难度差别很大的远不止这些，比如对大数字分解质因数，就比计算两个大数相乘困难得多。据说这就是一些密码的数学基础。前面提到的求导和积分，也是前者比较容易而后者很难。

还有一些问题，不知怎么的竟然无法提出逆问题。比如物理上的扩散方程或者导热方程等等，我们可以计算一个不均匀系统经过多长时间变成一个均匀系统（这里说的均匀，是指实验精度内的），以及最终的这个均匀系统是个什么状态，但却无法从均匀状态逆推到非均匀的初始状态。这里涉及“熵”，是一个很让科学家感兴趣的问题。

这就是本文要讲的内容，大家还满意吗？