猫爪定理平面几何(猫爪问题)

本篇文章接上篇，继续研究猫爪定理之三中的，1949年的经典题目。

1、如图，设D、E、F分别在BC、CA、AB上且ED=EC,FD=FB,

求证：D关于EF对称点D&39;的外心，

E为△CDD&39;C=∠A,从而得证。

证明：

依题意FB=FD=FD&39;的外心，

类似的，E为△CDD&39;D=∠0.5BFD=90°-∠ABC,

同理∠CD&39;C=∠BD&39;D=90°-∠ABC+90°-∠ACB=∠A,

故BD&39;,

则EB=ED&39;BCA,D&39;=2∠ABD&39;,

则D&39;HE=∠EHB，这样就发现D’为完全四边形密克点，以下倒角即得。

证明：设EF交BC于H，则D&39;ECH共圆。

若圆O&39;HC=∠D&39;=2∠ACD&39;

故∠D&39;关于EF对称点在BC上。

反之，若D&39;HE=∠EHB，

则∠D&39;HC=2∠EHD&39;=∠AOD&39;过O。

注：不难发现，本题依然来源于上述经典结构。不过他改变了视角，重点描述了D’,算是上述问题的逆命题。所以本题最自然的思路是转化为上题结构，但是发现D在BC条件很难转化，条件点D’为两圆交点也不好使用。用上题结构要证明充要条件不太容易。进而抓住本结构的本质——猫爪定理（即密克定理）。利用密克点的性质，倒角即可轻松证明。

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