高中数学棱柱棱锥棱台概念题(棱柱棱台棱锥三者之间有什么关系)

导语：棱柱、棱锥、棱台作为高考题，并不难，但它是必考热点

以棱柱、棱锥和棱台的教学为知识背景的高考数学题型，一方面是为了传播数学概念教学中数学核心素养，通过设计合理抽象过程、融合不同推理形式、渗透数学历史文化、转变学生学习方式等路径；另一方面，可以通过这些题型，很好的考查考生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学综合能力。

考生要学会通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法学习立体几何，这样处理符合认知特点，有利于降低立体几何学习的门槛，提高学生的学习兴趣。

几何体的表面积和体积问题是高考数学的热点内容，它常见的问题一般会这样去出题，棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积对于棱柱、棱锥、棱台的表面积，多采用面积累加的方式求解，特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高。

典型例题分析1：

如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．

（1）求证：C′E⊥平面BCE；

（2）若AC=2，求三棱锥B′﹣ECB的体积．

证明：（1）在矩形A′ACC′中，E为A′A中点且AA′=2AC，

∴EA=AC，EA′=A′C′，

∴∠AEC=∠A′EC=45°，

∴C′E⊥EC，

∵C′E⊥BE，CE∩BE=E，

∴C′E⊥平面BCE；

（2）解：∵B′C′∥BC，B′C′⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，

∴B′C′∥平面BCE，

∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB，

∵C′E⊥平面BCE，

∴C′E⊥BC，

∵BC⊥CC′，C′E∩CC′=C′，

∴BC⊥平面ACC′A′′

∴BC⊥CE，

∵AC=2，

∴BC=2，EC=EC′=2√2，

∴VB′﹣ECB=VC′﹣ECB=1/3×1/2×2×2√2×2√2=8/3．

考点分析：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

题干分析：

（1）证明C′E⊥EC，利用C′E⊥BE，CE∩BE=E，即可证明C′E⊥平面BCE；

（2）利用等体积转化求三棱锥B′﹣ECB的体积．

​典型例题分析2：

如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=1/2·AA1=1，D是棱AA1上的动点．

（1）证明：DC1⊥BC；

（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．

证明：（1）如图，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∴CC1⊥底面ABC，又CC1⊂面ACC1A1，

∴面ACC1A1⊥底面ABC，而面ACC1A1∩底面ABC=AC，

由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，

∴BC⊥平面ACC1A1，

∴BC⊥DC1；

（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，

∵AC=BC=1/2·AA1=1，

∴AA1=2，

则S△CDC1=1/2×2×1=1

∴VC-BDC1=VB-CDC1=1/3×1×1=1/3．

考点分析：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．

题干分析：

（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC1A1，进一步得到BC⊥DC1；

（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解．

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