阿基里斯悖论与投资乘数

阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄，公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺提出了一个有趣的说法：阿基里斯和乌龟赛跑，让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始跑，假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，所用的时间为t，那么在这个时间内乌龟又向前爬了100米；当阿基里斯又跑完这个100米时，他所用的时间为t/10，而乌龟在这里时间段又向前爬了10米；当阿基里斯再跑完这个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟在这段时间内又向前爬了1米……。芝诺认为，阿基里斯能够不断逼近乌龟，但决不可能追上它。这就是著名的阿基里斯悖论。

可是经验告诉人们，尽管让乌龟先爬，只要阿基里斯速度快于乌龟，不可能追不上乌龟。阿基里斯追上乌龟只是时间问题，而这个时间仅取决于两者的速度差。阿基里斯悖论提出以后，虽然从感性认识上人们并不怀疑阿基里斯可以追上乌龟的事实，但长期以来却没有人能从正面逻辑上驳倒这一悖论，从而增加了这一悖说的神秘性。这一悖论的存在让当时的哲学和数学束手无策，特别是让数学陷入危机。

直到17世纪未18世纪初，牛顿和莱布尼茨创立微积分学后才为破解这一悖论提供了可能。英国科学家牛顿在1667年完成了“微积分”的雏形《流数法》，直到1704年才发表。莱布尼茨则分别于1684－1686年正式发表了他的微积分论文，首次采用dx、dy、∫ 等微积分符号。莱布尼茨创立的这些符号，为数学语言的规范化和独立化起到了极为重要的推动作用，这些符号一直沿用到今天。1696年，莱布尼茨的微积分学被作为教科书出版。微积分的发明引起了数学界的轰动，并很快传遍了整个欧洲。随着微积分的普及，阿基里斯悖论神秘的面纱也将被揭开。在阿基里斯追龟过程中，他在各个细分阶段的用时分别为：t，t/10，t/100，t/100，……，这是一个无穷等比递缩数列，通过积分运算对其求和的结果就是一个收敛的无穷级数，其必然收敛于10t/9，这就意味着阿基里斯只需用10t/9的时间就能追上乌龟。实际上微积分不仅解决了阿基里斯悖论，也把数学从危机中解脱了出来。

从哲学层面来看，阿基里斯悖论的破解是基于“有限”与“无限”的辨证关系的突破，即“有限”中包含着“无限”，“无限”中包含着“有限”，“有限”与“无限”既相互依存又相互转化。在阿基里斯追龟过程中，体现的是“无限”合成为“有限”，虽然在追龟过程中出现了无限个递减的时间段，但这无限个递减的时间段累积起来却是个有限的时间，只要这个时间存在，阿基里斯就一定能追上乌龟。所以，这里的关键是无限个时间段可累积成为一个有限的时间段，这两者是可转化的，其数学基础是级数的收敛性。反过来也会出现“有限”分解为“无限”的情况，《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这也是基于“有限”和“无限”的辩论关系，因而一尺之棰可以无限分下去。当然也有人说一尺之棰不断地分下去，当分到夸克层面时就无法再分了。这只是基于人们当前的认识能力而已，随着人们的科学和认知能力的提升，夸克也未必不能再分。

投资乘数是一笔投资增加可能带来的国民收入增加的倍数。“当总投资量增加时，所得之增量将k倍于投资增量”（凯恩斯，《就业利息与货币通论》商务印书馆1981版，第99页）。”投资乘数可以用收入增量对投资增量的比率来表示。投资的增加之所以会有乘数作用，是因为各个经济部门之间的相互关联性。当某一部门的一笔投资发生后，不仅会增加本部门的收入，而且会在国民经济各部门中引起连锁反应，这个连锁反映可以一轮一轮地传导下去，涉及部门会越来越越多，但效应是越来越弱，这是一个无穷等比递缩数列，当把各个链条上的收入累加后，就是一个可以收敛的无穷级数。从某一部门增加投资开始，到带动其他部门投资与收入增加，最终使国民收入成倍增长，其原理与破解阿基里斯悖论如出一辙。