实数序列是什么意思(实数基本理论六个基本定理)

这个方法主要是由康托给出的。回想判断数列是否收敛的柯西准则，称一个满足柯西准则的数列为基本序列。从实数的有限或者无限小数的定义，不难验证：一个有理数可以用一个收敛的由有理数组成的数列的极限表示，比如这个数列的所有项都是这个有理数；一个无理数也可以用一个收敛的由有理数组成的数列的极限表示，比如对于a=√2，那么收敛到a的数列{an}的各项可以是

a1=1.4

a2=1.41

a3=1.414

......

因此，一个实数可以对应于一个基本序列。于是定义基本数列的极限点为实数。如果有两个基本序列，比如{an}和{bn}，收敛于同一个极限点，那么，必有：当n→∞时an-bn→0，康托称其为等价类。这样，一个实数与一个有基本序列组成的等价类就一一对应了，定义是合理的。

下面我们证明√a•√b=√a•b，其中a和b为正实数。令{an}和{bn}分别为收敛到√a和√b的基本序列，容易验证{a2n}和{b2n}均为有理数列并且分别收敛到a和b，因为n→∞时a2n•b2n→a•b，因此{a2n•b2n}={(an•bn)2}是确定实数(a•b)的基本序列，即{(a•b)}是确定实数√a•b的基本序列，这就证明了命题。

通过上面的论述，我们还可以得到这样一个基本事实：实数集合R不仅对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的。

用基本序列的方法对于论证问题是有利的，但是就计算法则而言是没有新意的，特别是基本序列的等级类是令人费解的，因为我们无法知道这个类里的元素是什么，也无法知道这个类里的元素有多少，更不知道是否所有的等价类中的元素都是一样多。为了把一件事情解释清楚，往往会带来更多的疑惑。

为了实数理论的完备，还有一个问题是需要解决的，就是实数与数轴上的点是否是一一对应的。只有解决了这个问题，我们才能安下心来研究基于实数的所有数学理论。在用小数来定义实数的时候我们已经知道，实数与数轴上的点是对应的，但要实现“一一对应”还需要证明实数的连续性，因为从直观上看，数轴是连续不断的，现在我们需要验证实数是否也是连续不断的。关于这个命题，用基本序列的方法来证明是困难的，因为基本序列在本质上仍然刻画的是独立的点。

免责声明:本文内容由互联网优秀作者用户自发贡献，本站仅提供存储空间服务，不拥有所有权,不承担相关法律责任。若有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容，请与我们取得联系举报，一经查实立刻删除内容。本文内容由快快网络小嫣创作整理编辑！