在没有引入阿拉伯数字前，古人怎么书写算式解答数学问题？

导语：

汉字里表示数字的常用字有：〇、一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿、兆。

对应的大写分别是：零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬、億、兆。

比兆更大的数字单位有京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载、极，不过，它们并不常用。

当然，汉字里还有一些特殊的数字符号，如，廿（读niàn，代表20）、卅（读sà，代表30）、卌（读xì，代表40）、圩（读xū，代表50）、圆（读yuán，代表60）、 进（读jìn，代表70）、枯（读kū，代表80）、枠（读huà，代表90）、皕（读bì，代表200）。

中华先民发明的这些汉字，足够表示天地间的任何一个数字，至今仍在使用。

比起汉字计数，用阿拉伯数字来计数就简单得多。阿拉伯数字采用“十进制”运算方式，书写起来很方便，从2300多年前被发明出来后，很快流行于全世界。

阿拉伯数字又叫“印度数字”，是由古印度人在3世纪发明，后来由阿拉伯人传入欧洲，欧洲人便给其取名“阿拉伯数字”。阿拉伯数字由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共计十个符号组成，世界上任何数字都能用它们表示出来。

唐朝中期，阿拉伯数字跟随佛教传入了中国。不过，当时的中国有自己完善的计数系统和数学算式，并没有接受阿拉伯数字。直到清末民初，在新文化的洗礼下，阿拉伯数字才被国人熟知和接受。

那么，在数千年时间里，在没有阿拉伯数字时，中国人又是如何书写复杂的数学算式，以及解答数学问题的呢？

不论是原始社会的“结绳记事”还是“书契记数”，在历史上的应用时间都很短，对一些复杂的数学问题都显得鞭长莫及。

中国古代的计算工具和计算方法，应用最广，流传时间最长的无疑是筹算和珠算。

“筹算”是古代中国人的一项伟大发明，具体发明于何时，目前还没有具体的说法。

老子在《道德经》二十七章里说到：善行无辙迹，善言无瑕谪，善数不用筹策，善闭无关楗而不可开，善结无绳约而不可解。

第三句里的“筹策”指的就是“筹算”，说明中国人在春秋战国时期就善于用筹算来解决算术问题。

筹算有专门的计算工具，称作“算筹”，用竹棍或者小木棒制作。

《汉书·律历志》里关于算筹的形状与大小的记载这样写道：其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。

意思是说，西汉算筹用竹棍做成，直径大约是0.23厘米，长约13.86厘米，通常把二百七十一枚算筹捆成六角形的捆，构成一组。

用筹算计算时，通过摆放和变换竹棍的位置，就能计数和计算，使用起来很方便。

70后肯定有这样的印象，上学前班时，老师会让每个孩子准备10根一拃长的小木棍或竹棍，用皮筋扎住。进行简单的加减乘除时，拿出棍子摆放和移动位置，就可以得出结果。这实际上是现代人对古代筹算在现代的传承。

筹算的具体计算方法，在我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》里写得很清楚：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。

意思是说：用筹算计算时要先辨识摆放竹棍的位置，摆放个位数时要竖着放，十位数要横着放，百位数竖着放，千位数横着放，万位数竖着放，这样交替着摆放就能表示出不同的数字，并演算出加减乘除的结果。

如果遇到零，则以空位来表示。

可以看出，古人用算筹表示数目，有竖列式和横列式两种方式。算筹不仅能表示正负整数和分数的四则运算与开方，还能表示各种特定筹式的演算。

利用算筹摆放的不同的“位置”来表示不同的“数值”，这是筹算的基本作用。同时，算筹还具有“十进位值制记数法”的功能，利用算筹摆放的不同的位置关系，排列成特定的筹式（数学模式），表示特定的数量关系，对人们在生活中的帮助很大。

《孙子算经》里下卷第31题是一道著名的数学题，写道：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。

这道题也就是现代数学题“鸡兔同笼”的雏形。

题的解法这样写道：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。

又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。

文中所谓的“上置”和“下置”，指的是将数字按照上下两行摆放在筹算盘上。

解法翻译为：在算筹盘第一行放好头的数目（35），第二行放好脚的数目（94）。将脚数除以二，此时，第一行是三十五，第二行是四十七。用较小的头数减去较多的半脚数，四十减去三十（上三除下四），七减去五（上五除下七）。此时下行是十二，三十五减十二（下一除上三，下二除上五）得二十三。此时第一行剩下的算筹就是鸡的数目，第二行的算筹就是兔的数目。

另一种算法为：第一行放头的数目，第二行放脚的数目，将脚的数目除以二，从脚的数目的一半减去头的数目，再从头的数目减去刚才所获得的结果，即得鸡的数目。

这类经典数学题在《孙子算经》里很多，代表了古代中国人在数学领域的智慧和成就。

“珠算”顾名思义就是用算盘来解答各种数学问题，操作很方便，只要熟记珠算口诀，拥有一个算盘，就能进行加减乘除和开方等数学运算。“三下五除二”是最基本的加法口诀之一。

算盘是中国古代伟大的发明之一，其计算方法称作珠算，由筹算演变而来，最早出现于东汉，在阿拉伯数字出现之前，被看作是全世界最重要的计算方式。因为它操作灵活，携带方便，自出现后，在古代中国人的计算工具里扮演了重要角色，到明朝时，已经完全替代了筹算，独占古代计算方式的鳌头。

算盘之所以采用“上档二珠下档五珠”的设计方式，一是因为古代中国计算重量通常采用“16两制”，1斤等于16两。算盘的上二珠下五珠，每一档可计算到“15”（上档一个珠代表5，下档一个珠代表1），这样“满16”时就向前一档进一。

二是我国古代乘法通常采用“留头乘”，将乘数首位留至最后再与被乘数相乘而得名。比如，235×586，计算顺序：5×80，5×6，5×500；30×80，30×6，30×500；200×80，200×6，200×500。在珠算里，如果上一珠不够用，就必须启用二珠。

阿拉伯数字早在唐朝中期就传入中国，中国人没有接受它，有三个不得不说的原因。

其一，在数学应用领域，中国自古就有成熟的工具和方式，不需要阿拉伯数字来凑热闹。

中国在周朝发明了筹算，在东汉又发明了珠算，这两种计算方式足够应付日常生活，没有必要用不熟悉的阿拉伯数字来演算数学。

其二，阿拉伯数字不够严谨，写出来容易被篡改。

阿拉伯数字写出来后，很容易篡改原来的数字。比如，0容易被改成10，1容易被改成7，3容易被改成8。如果改变小数点的位置，数字将会发生巨大变化。

而汉字数字相对阿拉伯数字笔画复杂得多，并且有对应的大写，想涂改没有可能，也就不可能出现做假账的可能。

其三，阿拉伯数字跟古人的书写习惯相悖。

汉字因为是方块文字，不管用哪种方式书写，看起来都很美观。古人写字时，往往自上而下，从右到左来写。阿拉伯数字的特点是瘦长挺拔，从诞生之日起，写法一直是从左到右横写，如果用写汉字的方式来写阿拉伯数字，显然会影响整体的美观性，在辨识度上也很困难。

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