既然1+1＝2不能被证明，那为什么我们可以使用它？
【修改版 1.1】
我想提问者肯定是被简化的科普给搞糊涂了。在大众科普传媒中，所提到的1+1问题的，涉及到素数（又称质数，指对大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数，2是唯一的偶数质数。）和偶数的关系。事情的起因是这样的，话说1742年，数学爱好者哥德巴赫，有一天突发奇想任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。让我们简单验证一下 4 = 2+2；6=3+3；8=3+5........ ，在有限的范围内，可以发现这个猜想找不到反例，但由于偶数有无限多个，因此无法一一举证，而需要更加简洁的数学证明。
图示：2~20以内的所有数。注意通过将素数自加，或者将两个素数相加，我们就可以得到从2~20的每一个数，而这个规律只要你愿意，你就可以在有限的数字内一直写下去，但是不完全归纳法只能给出提示，不能给出严谨的证明。但让人烦恼的是，又没有办法寻找到一个反例。因此这道乍看起来特别简单，甚至感觉简直就应该是理当如此的一个数学猜想，由于证明它是如此之难，因此成为数学上的经典难题，被誉为——数学皇冠上的明珠。同时因为这道题看起来简单，所以也坑了许多人，无论是数学家还是业余爱好者，为了这道题费劲心思，却一无所获，笔者告诫读者，不要尝试去证明它，尤其不要尝试用小学和初中的数学知识去证明它。
因此，哥德巴赫给大数学家写了一封信，请求他想办法证明自己这个猜想。结果这个看似简单的问题，难住了大数学家欧拉，这是一道看起来相当理所当然的问题，但要严谨的证明它却出乎意料的困难。
以此相对比的是另一道同样大名鼎鼎的素数问题：存在最大的素数吗？自从发现了素数之后，很快就有人问出了这道题。因为，通过使用不完全归纳法，人们观察到一个现象，随着数字的增大，素数的个数迅速减少，那么这种减少的趋势如果一直延续下去，那是否意味着，存在一个最大的素数？所有比它大的数都必然能分解为两个整数的乘积？
图示：日本素数研究者绘制的素数密度图，随着数字增大，素数彼此之间的间隔也越来越大，意味着素数越来越稀疏。
对于数学证明不太熟悉的人来说，大概会觉得这道题简直无法证明，毕竟自然数的序列是无穷无尽的，我们如何知道是否存在一个最大的素数呢，而且即便它真的是最大的，那我们又怎么可能证明这一点呢？但早在两千多年前，几何学之父，欧几里得利用反证法巧妙的证明了不存在最大的素数，并将其记载到他的经典著作《几何原本》之中，被后人称为欧几里得定理。这里就不赘述证明的过程了，有兴趣的读者可以尝试自己证明一下，小提示利用阶乘和余数。总之，这件事也告诉我们，不完全归纳法只能作为提示，而提示可能具有误导性质。因此，虽然素数的个数在迅速下降，但它不会下降到零，因此也就不存在最大的素数。
“哥德巴赫猜想”因其简明和符合直觉，但却难于证明，让它在素数研究领域中一举成名，它表述的简单性、易于理解的特性以及其知名度，就是一个充满诱惑力的陷阱，吸引着许多数学爱好者和年轻的数学家们尝试通过攻克这道难题来扬名立万。但所有这些尝试都失败了，数学家们开始退而求其次，如果不能证明任意充分大的偶数都可写成两个质数之和，那我们可以先证明它可以被写成，比如不多于5000个素数之和？
思路一旦变换，渐近的成果也就随之出炉，后世的数学家按此思路一路缩小所需要的素数个数，直到中国的年轻数学家陈景润，他在1966年发表的《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称“1+2”，这个2是指两个素数相乘），这成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑，他所发表的成果也被称之为“陈氏定理”。后来有人将陈景润的事迹写成一个长篇报告文学《皇冠上的明珠》。
由于这本书的出版，让许多国人知道，还有这么一道很好理解的超级数学难题的存在。这激发了数学爱好者的好奇和雄心，但这其中多数人甚至看不懂陈景润的证明，而是直接动用四则运算大法，去尝试证明哥德巴赫猜想，一些人甚至相信自己使用小学数学就完美的证明了这道“世纪难题”，只是受到官方数学界的压制，因此无法得到承认。但如果能用初等数学解决这道难题，那大数学家欧拉，以及数百年来的数学家们都是傻子么？不过，人一旦偏执就无法接受对自己成果的否定，而数学偏偏是一门逻辑异常严谨的学问，任何一步的纰漏都是不能通过嘴炮狡辩过去的，需要无可辩驳的逻辑和相关定理的支持，不能想当然。
当然，虽然证明哥德巴赫猜想很困难，但要否证它却相对简单，只要找到一个反例就行。找到一个具体的偶数，发现它不能被拆解为两个素数之和就行，当计算机登上舞台之后，一些数学家尝试用计算机来暴力搜索，但在可接受的时间内，计算机也并未找到反例。当然，没找到反例，不能作为证明。如今就差这最后一步了，但陈景润开辟的道路，大概只能走到1+2，要想彻底解决这道难题，看来需要更有创新性的想法，甚至需要一个新的数学分支。数学史上的超级难题，常常是数学思维创新的源泉，已有的知识解决不了，就意味着需要新的知识。
如果，提问者问的就是字面上的问题，1+1=2。那这和数学证明无关，而是属于公理系统，是数学运算的基本架构。对完全形式化逻辑感兴趣的人可以参考皮亚诺自然数算术公理，它定义了数学运算。
图示：用皮亚诺算术公理系统定义的加法。证明1+1=2
优秀作者:爱吃瓜子的老羊