运放电路何时不稳定？相位裕量分析！

结合相位裕度分析，回顾波特图和基本的稳定性理论。深入理解这些内容，对于运放电路稳定性问题的学习是非常重要的。

当中讲到了极点相关的公式以及极点在波特图上的振幅和相位的响应。

极点使得在幅频响应中在截止频率fp之后以-20dB/dec的速率下降，极点也使得在截止频点fp的前后都出现了相移，最大造成-90°的相移。

在截止频率fp处幅度会衰减3dB，相位会偏移-45°，总的来说极点在大约2.5个十倍频处造成了-90°的偏移。在fp前十倍频程相移-5.7°，在fp后十倍频程相移-84.3°。

当中讲到了零点相关的公式，以及零点在波特图上的振幅和相位的响应。

零点使得在幅频响应中，在截止频率fc之后以+20dB/dec的速率上升，零点也使得在截止频点fc的前后，都出现相移，最大造成+90°的相移。

在截止频率fc处，幅度会提升3dB，相位会偏移+45°，总的来说极点在2.5个十倍频程处，造成了+90°的偏移。在fc前十倍频程相移+5.7°，在fc后十倍频程相移+84.3°。

由于运放的模型比较复杂，用一种直观的模型，对于进行交流稳定性分析是有效的。在这个简化的稳定的模型中，给到运放的差分输入，经过开环增益传输到运放的输出端，然后接着通过运放的输出电阻，到达相外的输出节点。

开环增益AOL表示运放能给差分输入信号提供的最大增益。对于理想运放来说，AOL是无限大且不受频率限制的。现在的运放的开环增益低频段可以做到100万或者120dB，而带宽增益积可以做到从几十kHz到上GHz。开环输出阻抗Zo，是指开环情况下从运放输出端测试所得。Zo与运放工作在闭环模式下的输出阻抗Zout不能混淆。Zout是由ZoAlo以及电路的设计决定的。为了集中讨论稳定性的相关问题，Zo在全频段内看做成纯阻性，实际上对于部分新的轨至轨运放，Zo会随着频率的变化而变化，从而使得稳定性的分析变得更加复杂。在深入理解针对纯阻性的Zo的稳定性分析之后，对于更加复杂的Zo在以后加以探讨。

为了控制运放的开环增益，需要在输出与反相端引入负反馈，在这被称为闭环。在这个闭合环路中Rf和R1形成了一个分压器，因而在输出与反相输入端形成一个衰减，这两个电阻的比例决定了从输出反馈到输入的量，我们定义为反馈系数或者β。

闭合环路后产生了闭环增益，ACL等于AOL除以1加上AOL乘以β的和，AOL乘以β被称为环路增益。当开环增益足够大，闭环增益的公式可以简化为β的倒数。在此例中1/β=1+Rf/R1这可以认为是同相放大器的增益。在运放电路中，需要深入理解这项通过引入负反馈而引入的闭环增益。放大器会调整其输出，使得两个输入端相等即建立虚短。因此β决定了输出到输入的衰减，使得输出是输入的1/β倍，这正是闭环电路中反馈电阻设置闭环增益的原理。

让我们通过数学与图解法，定义稳定性分析的条件。

首先我们需要定义，运放在什么情况下是不稳定的。回顾环路的增益公式Acl=Aol/(1+Aolβ)，进一步的分析Aolβ又称为环路增益，它等于-1时分母就为零，从而Acl无法定义，这是数学上对不稳定的定义。

在实际电路中，它又是怎么发生的呢，在某些频点上Aolβ会等于0dB，即1V/1V。如果反馈回路引入了足够的延迟，相比于Vin信号，反馈信号的相位会移动180度，180度的相移正好等价于反相或者-1。因此Aolβ等于0dB，相移为180度，结果就是Aolβ=-1。

相位裕量的概念，用于定义电路的相移与这种情况相接近的程度。相位裕量就是Aolβ=0dB对应频点处的相移，例如10°的相位裕量就意味着相位在Aolβ等于0dB时，对应的频点处移动了170°。可见环路增益Aolβ是稳定性分析的关键元素，那么我们如何得到环路增益呢。

我们可以用波特图，分析环路增益的幅频响应。使用同样的电路可以得到增益为10V/10或者20dB，在这里1/β是一个值为20dB的常量。图示中还有Aol曲线，我们可以通过Aol曲线减去1/β得到Aolβ的值。这样虽然不算直观，但从右边的公式可见，这是利用了对数函数的属性。在上一页中我们讲到相位裕量是在Aolβ=0时的频点处，该频率被称为fc，且定义了环路的闭合点，同时此频点也是Aol曲线与1/β曲线的相交点。

要得知相位裕量，我们需要知道环路增益的相移曲线即Aolβ，对频率的相移。使用之前的结论，也可以通过Aol-1/β来得到。

在本例中，虽然在运算放大器电路的反馈回路中加入了一个电容，但是对直流分量可以视做开路。因而环路增益跟之前的电路一样，仍然为10V/V。在高频的时候电容导致R1与C1形成复合阻抗降低，电路增益响应会以+20dB/dec增加，这一点我们可以从1/β曲线在零点过后的区域看到。相位上1/β曲线的90度相位增加，导致了Aolβ曲线相位减少了90度，因而相位裕量低于5度非常的小。

我们知道了如何观察相位裕量，现在回到最开始我们想要做的，即如何避免出现Aolβ=-1。要记住在这种情况下，意味着在fc处的相移为180°或者说0°的相位裕量。因此为保证裕量，我们认定相位裕量在45°或以上时，为稳定度的最佳化。然而电路仍然有可能在低于45度的相位裕量下工作，但是这被认为是临界稳定，而且会有明显的过冲和震荡。

另外我们必须牢记，由于芯片生产工艺的变化，温度元件的差异性及其它的影响器件会有不同的特性。因而我们把45°作为稳定电路的最低要求。