详解数制与数制的转换

数制

数制就是数的进位制。日常生活中经常会接触到0、7、8、9、168、295等这样的数字，它们的进位制为十进制。另外，还有二进制和十六进制等。

(1)十进制数

十进制数有以下特点。

① 有 10 个不同的数码： 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。任意一个十进制数均可以由这10个数码组成。

② 遵循“逢十进一”的计数原则。

对于任意一个十进制数N，它都可以表示成：

式中：m和n为正整数;an − 1，an − 2，…，a− m称为数码;10称作基数;10 n − 1 ，10 n − 2 ，…，10 − m 是各位数码的“位权”。

例如：根据上面的方法可以将十进制数3259.46表示为3259.46=3 × 10 3 + 2 × 10 2 + 5 × 10 1 + 9 × 10 0 + 4 × 10 − 1 + 6 × 10 − 2。

(2)二进制数

十进制是最常见的数制，此外，还有二进制、八进制、十六进制等。在数字电路中，二进制用得最多。

1)二进制数的特点

二进制数有以下特点。

① 有两个数码： 0 和 1。任何一个二进制数都可以由这两个数码组成。

② 遵循“逢二进一”的计数原则。

对于任意一个二进制数N，它都可以表示成：

式中：m和n为正整数;an − 1，an − 2，…，a− m称为数码;2称作基数;2 n − 1 ，2 n − 2 ，…，2 − m是各位数码的“位权”。

例如：二进制数11011.01可表示为11011.01B=1×2 4 +1×2 3 +0×2 2 +1×2 1 +1×2 0 + 0×2 -1 +1×2 -2。

注：为了说明数据为二进制数，一般在数据后加上“B”，十六进制数加上“H”。

2)二进制数的四则运算。

① 加法运算。加法运算的法则是：“逢二进一”。具体有：

当遇到“1+1”时向相邻高位进1。

例如：求1011B+1011B=?可以用与十进制数相同的竖式计算

即1011B+1011B=10110B

② 减法运算。减法运算的法则是：“借一当二”。具体有： 0 − 0=0 1 − 0=1 1 − 1=0 10 − 1=1

当遇到“0 − 1”时，需向高位借1当2用。

例如：求1100B − 111B=?

即1100B − 111B=101B

③ 乘法运算。乘法运算的法则是：“各数相乘，再作加法运算”。具体有：

0×0=0 1×0=0 0×1=0 1×1=1

例如：求1101B×101B=?

即1101B×101B=1000001B

④ 除法运算。除法运算的法则是：“各数相除，再作减法运算”。具体有： 0÷1=0 1÷1=1

例如：求1111B÷101B=?

即1111B÷101B=11B

(3)十六进制数

十六进制数有以下特点。

① 有 16 个数码： 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。这里的A、B、C、D、E、F分别代表10、11、12、13、14、15。

② 遵循“逢十六进一”的计数原则。

对于任意一个十六进制数N，它都可以表示成：

式中：m和n为正整数;an − 1，an − 2，…，a− m称为数码;16称作基数;16 n − 1 ，16 n − 2 ，…，16 − m是各位数码的“位权”。

例如：十六进制数3A6.DH可表示为3A6.DH=3×16 2+10×16 1+6×16 0+13×16 − 1。

数制的转换

(1)二、十六进制数转换成十进制数

二、十六进制数转换成十进制数的方法是：将二、十六进制数各位数码与位权相乘后求和，就能得到十进制数。下面举例说明。

二进制数转换成十进制数：101B=1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+0+1=5

十六进制数转换成十进制数：C6H=12×16+6×16 0 =198

(2)十进制数转换成二、十六进制数

十进制数转换成二进制数的方法是：采用除2取余法，即将十进制数依次除2，并依次记下余数，一直除到商数为0，最后把全部余数按相反次序排列，就能得到二进制数。

十进制数转换成十六进制数的方法与转换成二进制数基本相同，不同之处在于采用除16取余法。

例如：将十进制数29转换成二进制数。

即29=11101B

例如：将十进制数181转换成十六进制数。

即181=B5H

(3)二进制数与十六进制数的相互转换

① 二进制数转换成十六进制数。二进制数转换成十六进制数的方法是：从小数点起向左、右按 4 位分组，不足 4 位的，整数部分可在最高位的左边加“ 0 ”补齐，小数点部分可在最低位右边加“ 0 ”补齐，每组用其对应的十六进制数代替，将各个十六进制数依次写出即可。

例如：将二进制数1011000110.111101B转换为十六进制数。

注：十六进制的16位数码为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，它们分别与二进制数0000、0001、0010、0011、0100、0101、0110、0111、1000、1001、1010、1011、1100、1101、1110、1111相对应。

② 十六进制数转换成二进制数。十六进制数转换成二进制数的过程与上述方法相反。其过程是：从左到右将待转换的十六进制数中的每个数码依次用 4 位二进制数表示。

例如：将十六进制数31AB.6DH转换成二进制数。