滤波器的截止频率和品质因数详解

滤波器的截止频率（F0 ）一般地是指幅度响应比通带低3 dB时的频率。对于切比雪夫滤波器， 有时可以定义为幅度响应降至通带以外时的频率。例如， 一个0.1 dB切比雪夫滤波器的F0 可以定义为响应下降》 0.1 dB 时的频率。 如果考察的是实际频率与截止频率之比，而不是实际频率 本身，则衰减曲线的形状（以及相位和延迟曲线，它们定 义着滤波器的时域响应）将是相同的。将滤波器归一化至 1 rad/s，则可开发出一种简单的滤波器设计和比较系统。 在此基础上，用截止频率对滤波器进行缩放，以确定实际滤波器的元件值。

滤波器的品质因数（Q）有时也表示为α，其中： 这通常称为阻尼比。请注意，有时使用ξ，其中：若Q 》 0.707，则滤波器响应中会有些峰值化现象。若Q 《 0.707，F0 处的滚降会稍大；斜率将更平坦些，滚降发生的 时间将提前。对于2极点低通滤波器的峰值化量与Q的关系如图1所示。

图1

用ωo 和Q改写传递函数H（s）：

其中，H0 为通带增益且ωo = 2π F0 。 现在，我们将用该低通原型来设计滤波器。

高通滤波器

把低通原型的传递公式H（s）的分子改为H0 s2 ，结果将使低 通滤波器变成高通滤波器。该高通滤波器的响应在形状上 与低通滤波器相似，只是频率反相而已。 高通滤波器的传递函数为：

2极点高通滤波器的响应如图2所示。

图2

带通滤波器

把低通原型的分子改为Ho ωo 2 ，结果将把滤波器变成一个 带通函数。 带通滤波器的传递函数为：

（5）

其中：ω为滤波器增益峰值化时的频率（F0 = 2 π ω0 ）。 H0 为电路增益，定义为：

H0 = H/Q. （6）

对带通响应来说，Q有特殊意义。它是滤波器的选择性。 定义为：

（7）

其中，FL 和FH响应比最大值相差–3 dB时的频率。 滤波器的带宽（BW）定义为

（8）

请注意，可以证明，谐振频率（F0 ）为FL和FH的几何平均 值，这就意味着，F0 在对数尺度上将出现在FL 和FH二者的中点。

另需注意的是，在对数尺度上，带通响应的波裙在F0 左右 始终是对称的。

带通滤波器对各种Q值的响应如图3所示。

图3

这里需要提醒一下。带通滤波器有两种定义方式。窄带情 况为经典定义，如图3所示。

然而，在某些情况下，如果高、低截止频率相差很大，则 带通滤波器采用独立的高通和低通部分进行构造。这里所 说的相差很大是说至少相差2个倍频程（频率&TImes;4）。这是使 用宽带的情况。

带阻（陷波）滤波器

把分子改为s2 + ωz 2 ，就可以将滤波器转换成一种带阻或陷 波滤波器。就如带通滤波器一样，如果带阻滤波器的转折 频率之间间隔大于一个倍频程（宽带情况），则可用单独的 低通和高通部分构造。因此，我们将采用以下规范：窄带 带阻滤波器将称为陷波滤波器，宽带带阻滤波器称为带阻 滤波器。

陷波（或带阻）传递函数为：

（9）

陷波滤波器的特性有三种情况，如图4所示。极点频率ω0 与零点频率ωz 的关系决定着滤波器是标准陷波、低通陷 波，还是高通陷波。

图4

如果零点频率等于极点频率，则存在标准陷波。在此例 中，零位于jω平面，其中，定义极点频率的曲线与轴相 交。

当零点频率大于极点频率时，会发生低通陷波。这种情况 下，ωz 位于极点频率曲线之外。对实际应用来说，这意味 着，滤波器在ωz 以下的响应将大于ωz 以上的响应。结果形 成一种椭圆形的低通滤波器。

当零点频率小于极点频率时，会产生高通陷波滤波器。这 种情况下，ωz 位于极点频率曲线之内。对实际应用来说， 这意味着，滤波器在ωz 以下的响应将小于ωz 以上的响应。 结果形成一种椭圆形的高通滤波器。

陷波宽度随Q的变化情况如图5所示。

图5