三角函数中的数学思想方法(三角函数中的数学思想方法是什么)
三角函数中的数学思想方法。
三角函数是高中数学的重要内容,它蕴含着丰富的数学思想方法。灵活地借助数学思想方法解题,往往可以避免复杂的运算,优化解题过程,降低解题难度。本文能过实例介绍几种常用的数学思想方法。
一. 方程的思想
例1. 已知sinθ+cosθ=
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,θ
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(0,π),则cotθ=________。
解析:由sinθ+cosθ=
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平方得
sinθcosθ=
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。
又θ
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(0,π),
所以sinθ>0,cosθ<0,
且sinθ>
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,
将sinθ,cosθ看作是方程
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的两根。
所以sinθ=
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,cosθ=
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。
从而cotθ=
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,应填
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。
二. 函数的思想
例2. 已知x,y ∈[
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],且x3+sinx-2a=0①,4y3+sinycosy+a=0②,求cos(x+2y)的值。
解析:设f(u)=u3+sinu。
由①式得f(x)=2a,由②式得
f(2y)=-2a。
因为f(u)在区间[
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]上是单调奇函数,
所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。
又所因x,-2y∈[
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],
所以x=-2y,即x+2y=0。
所以cos(x+2y)=1。
三. 数形结合的思想
例3. 函数f(x)=sinx+2
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,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是______。
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解析:f(x)=
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函数f(x)=sinx+2
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,x∈[0,2π]的图象(如图1)与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则1<k<3。
四. 化归的思想
例4. 设α为第四象限的角,若
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,则tan2α=_________。
解析:因为
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=
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=
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=
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,
所以,tan2
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=
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。
又因为
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为第四象限的角,
所以tan
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=
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,
从而求得tan2
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=
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。
五. 分类讨论的思想
例5. 若△ABC的三内角满足sinA=
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①,问此三角形是否可能为直角三角形?
解析:假设△ABC可以为直角三角形。
(1)若B=90°,则A=90°-C,代入①中,得
sin(90°-C)=
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,
所以cos2C=1+sinC,1-sin2C=1+sinC,
所以sinC=1,即C=90°。这是不可能的,所以B≠90°。
(2)同理,C≠90°。
(3)若A=90°。
①式右边=
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①式左边=sinA=sin90°=1。
所以此三角形可为直角三角形,此时A=90°。
六. 换元的方法
例6. 已知sin3θ+cos3θ=1,求sinθ+cosθ的值。
解析:因为sin3θ+cos3θ
=(sinθ+cosθ)(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ)
=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。
设sinθ+cosθ=x(
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),
则sinθcosθ=
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。
所以x
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,
即x3-3x+2=0,(x-1)2(x+2)=0。
因为
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,
所以x-1=0,得x=1。
所以sinθ+cosθ=1。
七. 整体的方法
例7. 证明cos
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。
证明:设
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,
b=
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,
则ab=
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=
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=
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。
因为b≠0,
所以a=
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。即原式得证。
八. 类比联想的方法
例8. 已知λ为非零常数,x∈R,且f(x+λ)=
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。问f(x)是否是周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由。
分析:由于探索的是周期函数的问题,容易联想到三角函数。又f(x+λ)=
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的结构的形式极易与tan(x+
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)=
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进行类比,故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例,且题中的λ相当于实例中的
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。由于周期函数tanx的周期T=4·
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,故可猜想f(x)也为周期函数,且周期为4λ。
解:f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]
=
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,
则f(x+4
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)=f[(x+2
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)+2
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]
=
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。
所以f(x)是周期函数,且4
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是它的一个周期
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