搜索
写经验 领红包
 > 游戏

先有正数还是先有负数(先有负数还是先有分数)

到底是先有负数还是先有减法?谈谈自然数的扩充——整数

本文将在自然数系中引入一种新的运算 —— 减法,并将自然数系扩充为整数系,讨论一些相关性质。本文适合任何学历读者。

先有正数还是先有负数(先有负数还是先有分数)

引言

在上一篇文章中,我们从皮亚诺公理出发定义了自然数集,并且讨论了在自然数集上封闭的两种运算 —— 加法乘法。参考阅读:

如何证明 1 + 1 = 2 ? 从皮亚诺公理角度谈谈自然数

加法和乘法两种运算能做的事情终究是有限的。现在,我们需要引入一个新的运算 —— 减法,并且为了能使这个运算能够被很好地定义,我们需要一个比自然数集更大的集合 —— 整数集

现在,我们面临一个问题:到底是先定义减法还是先定义整数?由于减法是整数集中的二元运算,从映射的角度看,没有理由先定义对应关系再定义集合,因此整数应该比减法更早定义。我们很容易想到,用两个自然数来定义一个整数,比如。

如果使用的形式来定义一个整数,那么我们需要考虑:

(1)何时它们表示同一个整数,例如 ;

(2)它们之间如何进行加减运算,例如

(3) 是否涉及减法的循环定义,因为此时还未定义减法。

对于 (1),我们只需要利用与等价的事实即可。对于 (2),我们依旧可以通过一些加法和乘法的定律来定义。对于 (3),为了暂时规避减法,我们将这种二元运算暂时写成的形式,它的最终实质是减法,但我们暂且先假装不知道;等到减法被正式定义,再将 “” 替换为 “”。

先有正数还是先有负数(先有负数还是先有分数)

整数的定义

定义 (整数):一个整数是形如 a -- b 的数,其中 a, b 是自然数;两个整数是相等的,即 a -- b = c -- d,当且仅当 a + d = c + b. 我们用表示整数集。

在这个定义之下,我们明白和其实是同一个整数,这是因为。这样的定义有一个小问题,例如我们知道“”是整数,但并不形如“”,因此在这个定义下,“”还不是整数,这个之后会修正。

等式是否正当

上面的定义中的等式是否正当?等式是一种联系两个相同类型的对象之间的关系。如何定义两个对象之间的相等,取决于这两个对象所在的类的描述。出于逻辑考量,等式应当遵循以下四条等式公理

(自反公理) 对于任意对象 x, 有 x = x。

(对称公理) 对于任意相同类型的对象 x, y,若 x = y 则 y = x。

(传递公理) 对于任意相同类型的对象 x, y, z,若 x = y, y = z, 则 x = z。

(代换公理) 对于任意相同类型的对象 x, y,若 x = y,则 f(x) = f(y) 对于任何映射或运算 f 都成立。同理,对于有关 x 的任何性质 P(x),若 x = y,则 P(x) 和 P(y) 是等价的陈述。

对于任意整数,

自反性成立。

对于任意整数,,

对称性成立。同理,可以验证传递性成立,留给读者验证。对于代换公理,由于目前还未定义任何整数之间的运算(加法,乘法等),这个等我们定义了运算之后再验证。

先有正数还是先有负数(先有负数还是先有分数)

整数的加法和乘法

下面定义整数的两种运算 —— 加法乘法

定义 (整数加法):两个整数之和定义为

(a -- b) + (c -- d) = ( a + c ) -- ( b + d ).

定义 (整数乘法):两个整数之积定义为

(a -- b) x (c -- d) = ( ac + bd ) -- ( ad + bc ).

例如,,我们考虑一件事,我们将其中一个整数换成一个相等的整数,加法和乘法的定义是否依旧有效?例如,是否有?答案是肯定的,并有如下引理。

引理 (整数加法乘法定义明确):对于任意整数 a, b, a&39;, c, d,若 a -- b = a&39;,则

(a -- b) + (c -- d) = (a&39;) + (c -- d),

(c -- d) + (a -- b) = (c -- d) + (a&39;),

(a -- b) x (c -- d) = (a&39;) x (c -- d),

(c -- d) x (a -- b) = (c -- d) x (a&39;) .

下面证明第一个等式,其他三个留给读者验证。由自然数加法的性质以及整数加法的定义可得:

证毕!

n 与 n -- 0 之间的关联

考虑自然数集到整数集的一个映射,

对于加法而言,我们有

对于乘法而言,我们有

因此对于加法和乘法两种运算来说,是自然数集到整数集的一个同态,进而自然数集可以同构于整数集的一个子集,也就是所有形如的整数构成的集合。换而言之,所有形如的整数和自然数具有完全相同的运算性质,因此在不破坏定义以及运算性质的前提下,可以很自然地将自然数集看作是整数集的子集,其中定义。

先有正数还是先有负数(先有负数还是先有分数)

相反数

定义 (整数的相反数):整数 a -- b 的相反数 - (a -- b) 定义为 b -- a 。特别地,若 n = n -- 0 是一个自然数,则它的相反数定义为 -n = 0 -- n。

这个定义是有效的,因为对于两个相等的整数来说,它们的相反数也是相等的

引理:若 x 是一个正整数,则下面三个陈述有且仅有一个为真:

(1)x 等于 0,

(2)x 是某个正的自然数 n,

(3)x 是某个正的自然数 n 的相反数 -n 。

证明:我们先证明 (1),(2),(3) 中至少有一个为真。根据整数定义,可以写成的形式,其中为自然数。对于两个自然数而言,仅有三种可能性:或。若,则存在自然数使得,这等价于,这是情况 (2);若,则

这是情况 (1);若,即,则存在自然数使得,这等价于,这是情况 (3)。

我们再证明 (1),(2),(3) 至多只能有一个成立。根据正自然数的定义,正自然数不能是,从而 (1),(2) 不可能同时成立;假设 (1),(3) 同时成立,则存在某个正的自然数,它的相反数,而

矛盾!假设 (2),(3) 同时成立,则存在两个正自然数使得,而

必然是正自然数,因此矛盾!

证毕!

先有正数还是先有负数(先有负数还是先有分数)

减法的定义

整数的代数运算法则:若 x , y , z 为整数,则

x + y = y + x

(x + y) + z = x + (y + z)

x + 0 = 0 + x = x

x + (-x) = (-x) + x = 0

xy = yx

(xy)z = x(yz)

x1 = 1x = x

x ( y + z ) = xy + yz

( y + z ) x = yx + zx.

这里以第一条为例,其他几条同理,由读者自行验证。对于两个整数而言,

因此加法交换律成立。有了整数的运算规则,现在可以定义减法了。

定义 (整数减法):两个整数的减法定义为

a - b = a + (-b).

由于减法可以看成是加法和相反数的结合,而后两者都是定义有效的,因此减法的定义必然也是有效的。此时,不难验证

这说明与是完全等价的运算,因此现在可以将 “” 替换为 “”

先有正数还是先有负数(先有负数还是先有分数)

整数的大小顺序

我们将自然数的大小顺序拓展至整数。

定义 (整数的大小顺序):若为整数,我们称大于等于当且仅当存在自然数使得,并记为或。我们称大于当且仅当且,并记为或。

性质 (整数的有序性):若a, b, c为整数,那么

1. a > b 等价于 a - b 是正自然数。

2. 若 a > b,则 a + c > b + c.

3. 若 a > b 且 c > 0,则 ac > bc.

4. 若 a > b,则 -a < -b.

5. 若 a > b,b > c,则 a > c.

6. 以下三种情况仅有且必有一条成立:a > b,a < b 或 a = b.

整数的几个简单性质

现在列举整数几个的简单性质。

命题 ( 0 因子 ):若为整数,则

推论 (整数的乘法消去律):若为整数,不为,则

以上两个性质可以由自然数的性质推广而来,证明留给读者。

先有正数还是先有负数(先有负数还是先有分数)

至此,本文已经介绍完自然数系的扩充——整数系,在整数系中定义了减法,并简单列举了关于整数的一些性质。希望大家对于整数能有更深刻的理解。

温馨提示:通过以上关于到底是先有负数还是先有减法?谈谈自然数的扩充——整数内容介绍后,相信大家有新的了解,更希望可以对你有所帮助。