解析解与数值解的区别(解析解与数值解的关系)

解析解与数值解

解析解

解析解，又称为闭式解，是可以用解析表达式来表达的解。 在数学上，如果一个方程或者方程组存在的某些解，是由有限次常见运算的组合给出的形式，则称该方程存在解析解。二次方程的根就是一个解析解的典型例子。在低年级数学的教学当中，解析解也被称为公式解。

当解析解不存在时，比如五次以及更高次的代数方程，则该方程只能用数值分析的方法求解近似值。大多数偏微分方程，尤其是非线性偏微分方程，都只有数值解。

解析表达式的准确含义依赖于何种运算称为常见运算或常见函数。传统上，只有初等函数被看作常见函数（由于初等函数的运算总是获得初等函数，因此初等函数的运算集合具有闭包性质，所以又称此种解为闭式解），无穷级数、序列的极限、连分数等都不被看作常见函数。按这种定义，许多累积分布函数无法写成解析表达式。但如果把特殊函数，比如误差函数或gamma函数也看作常见函数，则累积分布函数可以写成解析表达式。

在计算机应用中，这些特殊函数因为大多有现成的数值法实现，它们通常被看作常见运算或常见函数。实际上，在计算机的计算过程中，多数基本函数都是用数值法计算的，所以所谓的基本函数和特殊函数对计算机而言并无区别。

数值解

数值解，是指给出一系列对应的自变量，采用数值方法求出的解。采用的方法有限元法、数值逼近、插值法。他人只能利用数值计算的结果，而不能随意给出自变量并求出计算值。当无法由微积分技巧求得解析解时，便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了，数值方法变成了求解过程重要的媒介。在数值分析的过程中，首先要将原方程式加以简化，以便后来的数值分析。例如，会先将微分符号改为差分符号等。然后用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解的形式。这时的求解步骤就是将一独立变量带入，求得相依变量的近似解。因此利用此方法所求得的相依变量为一个个分离的数值，而解析解为一连续的分布。

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