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傅里叶变换的虚数部分(虚数傅立叶变换)
傅里叶变换中的虚数j是什么意思
先理解一下虚数i的意义:
图1
其中的虚数 j 按照欧拉公式
j=e^(jpi/2),那么图1就表示电流超前电压的相位90度。
上图为实验验证。
复平面
再看复平面,由于j=e^(jpi/2),1=e^(j0),因此复平面上的实轴和虚轴本身就表示存在着pi/2的相位差。
再看傅里叶级数的三角形式:
从上图可以看到,相同频率的正弦和余弦谐波的不同系数
导致了相位的产生:
再看傅里叶级数的指数形式:
上图的系数ck是形如a+bi的复数,而a+bi是存在相位的,也就是说,在傅里叶级数的指数形式中,相位通过虚数 j 转移到了它的系数中去了。
至于其核函数
图2
按照欧拉公式,我们可以认为,函数f(x)展开以后,其余弦和正弦谐波分别被放到了复平面上相位差为pi/2的实轴和虚轴上面去了。
至于这样做的意义就在于,图2中的指数函数间的乘除运算要比三角函数方便得多。
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