向量场的线积分(向量微积分和多元微积分)
五分钟MIT公开课-多元微积分：向量场和线积分
简介
这期的内容要先把二重积分放一边了，开始一段相对较新的内容。
虽然是新内容，但是却是生活中很常见的现象，向量场的应用非常广泛，我们所生活的空间，也是在一个巨大的向量场中。
MIT多元微积分的系列课程中，在微分的部分就已经接触过向量场了，但是并没有做特别的申明。通过向量场，给一个重要的问题提供了非常有意思的思考角度——拉格朗日算法的几何学描述。具体可看：
五分钟MIT公开课-多元微积分：拉格朗日乘数法
目录：
简介
向量场
功和线积分
几何法
向量场向量场就是向量构成的一种形式。分量M和N是关于位置x，y的函数。
平面上的每个点都有对应的向量。向量场的例子也很普遍，比如说这是一张风向图，向量场存在于每一点处。而向量都依赖于点的位置：
还有一个更加直觉的例子就是地球的重力场，无论在哪里放置一个物体，这个物体都会受到向下的重力。
现在要从数学的角度去理解向量场，所以可以不用关心这些向量具体是什么。
要研究向量场，首先要知道怎么画出这些向量。
注意可能会混淆的地方，向量坐标和位置坐标是不同的，在这个例子中不同的位置有同样的向量。
j分量为0，只有i分量，向量场是水平的。关键是要知道这些向量的长度是多少。长度取决于x：
这个向量场是从原点放射状的向量，随着距离原点的距离增大而增大。
在每个点(x,y)处的向量是(-y,x)，相当于位置向量逆时针旋转90度。离远点越远，向量越大。这与流体运动时，绕着某点匀速转动时形成的向量场一致。这就是匀速转动的速度场，并且各点绕原点一圈的时间是2pi。
知道向量场后有很多东西可以学习，现在从力对物体做得功为突破口来深入了解向量场。
功和线积分考虑某个位置上有一个力，如果某个质点受到外力的作用，质点的运动就会形成轨迹。外力所做的功就等于外力与位移向量的点积。但是，如果质点的运动轨迹非常复杂或者外力不是恒力，这时就需要做积分了。这就是线积分。
向量\Delta r 表示的是位移，是位置向量的改变量。
功的计算是将移动路径分成许多小段，每一小段都有一个与之对应的向量，并求出每个向量与对应外力的点积，在把所有点积加起来。
沿着某条轨迹C，外力所做的功等于其积分。表示为：沿着轨迹C，F与dr的点积的积分：
可以这样去想，这是一个极限，我们把轨迹切割成非常小的线段，求出所有给定点的点积之和：
所以原式：
例子
这个向量场让所有的点绕原点旋转。
几点思考：
为什么不直接使用dr？
因为dr不是常规变量，很难处理，这里只把它当作符号就好了。向量r不是标量，而是位置向量，所以不能求F对于r对积分，因为无法对向量求积分。
如果质点从A到B沿着其他路径，力做功是否相同？
肯定是不相同的，假设在x轴上有一点c，从原点到c力是不做功的，从c到b明显力做功和原点到b所做功不同。考虑线积分的定义，线积分的值，取决于从a到b的路径。这就是为什么要使用曲线的参数方程。外力做功与路径有关。
如果外力作用导致的质点轨迹改变，力做功如何计算？
这就需要解微分方程了，从微分方程中可知质点的运动轨迹。
另一个角度来思考
F有两个分量,dr也有两个分量：
注意后者虽然形似向量，却不是真正的向量。这样线积分的方程就可以写成这样：
现在已经不是向量场而是微分运算了，但是他们的本质是相同的，所以关键在于如何计算这个积分。对于这个积分，M和N都依赖于x和y，如果仅对其中一个求积分，那么另一个就不能够被消掉。难点在于x和y互相关联。那么有人就会想到使用变量转换，但是无论怎么变换肯定会存在两个变量。实际上，曲线c只有一个参数，最终我们希望只剩下一个变量，这样就成为求单变量积分的问题了。解决的办法是：把x和y写成含有同一个变量的式子，然后用这个变量替换x和y。
注意：
线积分只取决于轨迹C，跟如何参数化无关。所以只要能简化成任何一个参数都行，比如使用极坐标。
几何法首先来看看向量dr的含义。什么是向量 dr，什么是向量 \Delta r?
在轨迹上取非常小的一段，\Delta r 的方向就是向量的方向，它与单位切向量 T 有相同的方向。\Delta r 的长度就是就是轨迹上的弧长，记为 \Delta s。这个向量方向沿着切线方向，大小为轨迹的弧长。
F和T的点积是一个标量，几何上表示外力投影到轨迹切线方向的成分，然后求出这个成分在曲线上的积分。结果是一样的，但是这种思考方法会让问题变得简单。
回顾上一个例子，使用几何法，对每一小段轨迹所受力在切线方向的投影总和，与积分得到的结果非常近似。
例子
轨迹是以原点为圆心a为半径的圆，逆时针旋转，向量场为:
对于这个例子，采用几何法，在轨迹上任意一点，外力恒垂直于运动方向，所以做功为0。
现在考虑，轨迹不变，向量场为：
这时，F与切线方向相同
总结
线积分的三种思考方式：
单变量的向量积
多变量的微分
几何法
温馨提示：通过以上关于五分钟MIT公开课-多元微积分：向量场和线积分内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。