连分数表示无理数(无理数连分数的计算方式)

非常神奇的连分数和无理数

连分数和无理数有许多有趣的性质，本篇我们就来了解下：

如下是个简单的连分数，不断的替换1，就得到1的连分数

如果我们把第一式子的1替换成2，依然成立，就得到2的连分数

所以得到

显然这是错误的，伙伴们你知道哪里出错了么？继续往下你就会明白

我们来看无理数的连分数

发现2后面的小数和根号2的小数一样

所以重复下去就得到根号2的连分数

你会发现根号2的连分数是有1和2组成

如图是黄金比例的连分数，

你会发现带根号的都会生成周期性的无穷连分数，根号3，根号5 都存在这样的周期性。

如图是自然常数e的连分式：

你会发现e的连分式也存在着周期性：2114 116 118..........

我们可以用这些连分数来证明这些数是无理数：

首先从有理数分数说起，一个分数不断写成连分数时，必定是有限的收敛的，不会无限延伸下去：

对于无理数如：黄金分割，自然常数 圆周率，这些数的连分数是无限延伸下去的。

如下是π的连分数，按前面所说的方式不断写下去，延伸的越多近似程度越高。

你会发现π的接近速度远高于Φ ，这和他们的连分式有关。

π的连分式都是3,7,15......较大的数逼近程度更快。Φ 的连分式都是1,1,1.......较小的数逼近程度慢。所以黄金比例数被称为无理数之王。

上图中写的分数都是连分式左侧最大的整数部分构成的，如π的分数：22/7,333/106.....总是收敛于π

我们一提到黄金比例数，就不得不想到斐波那契数列，它们两个存在着密切的联系，黄金比例数的连分式生成的部分分式的数列，发现存在斐波那契数：

以上就是对连分数和无理数的描述与分析。

温馨提示：通过以上关于非常神奇的连分数和无理数内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。