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mit多变量微积分笔记(多变量微积分公式)

五分钟MIT公开课-多元微积分:变量转换

简介

关于变量的转换其实在之前的知识中已经有一些接触了,请参考

五分钟MIT公开课-多元微积分:极坐标的二重积分

关于二重积分的知识可以回顾:

五分钟MIT公开课-多元微积分:二重积分

五分钟MIT公开课-多元微积分:二重积分的应用

这一节是对这一问题更深入的探讨。

知道如何在直角坐标系中处理二重积分,也知道直角坐标系和极坐标系的互相转换,一般情况下,变量转换更加普遍。这一节讲如何在二重积分下做变量变换。

热身:计算椭圆的面积

计算一个以a,b为半轴的椭圆面积。

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可以在直角坐标系下求面积,但是我们发现并不容易。椭圆是一个被压扁的的圆,直接使用极坐标也不方便。所以首先,要简化:

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椭圆的参数变换后,是一个单位圆,这样椭圆的面积就好算了。

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用变量替换的方法会使问题变得简单。

如果问题进一步复杂,就要使用更普遍的方法。关键问题是:比例因子(scaling factor)是什么?dxdy和dudv之间的关系是什么?

线性变换

例:

定义:

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一般情况下,做线性变换的目的,不是简化积分就是简化积分限。(simplify the integrant or the bounds)

单位面积:

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要明确的是,这种线性变换将所有的直线进行相同的变换,而且可以找到一个常比例因子(constant scaling factor).变换的四边形并不会因为位置的改变而改变。

定义比例因子:不受位置选择的影响。因为这是对变量的线性变换。

如图所示,右边绿色平行四边形为变换后的区域。

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平行四边形的面积可以通过行列式来求:

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负号仅仅表示方向相反。

所以

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面积变为原来的三倍,方向相反了。

还有件事情要注意就是积分限也跟着变化了。

定义:

通常情况:

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使用矩阵表达:

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当进行线性变换的时候,变换矩阵的行列式代表缩放面积系数。(可以带入验证)

变量替换的雅可比矩阵(Jocabian)表示

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注意这里没有真的在求偏导数,只是表示dudv和dxdy之间有比例关系的表达方式。

例子:极坐标

回顾直角坐标系到极坐标系的变化就是将 dxdy 变化为rdr d theta。现在用新的知识来解释下到极坐标的变换。

已知变换公式为:

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极坐标变换的雅可比矩阵的行列式为:

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所以:

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补充:

如果计算从xy到uv的雅可比变换矩阵,这个矩阵和uv到xy的变换矩阵互为倒数。

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压轴:一个完整的例子:

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如果不通过变量变换,这是一道很简单的题目。现在强行进行一组变量变换。

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第一步:找到单位面积元

通过雅可比,

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第二步:得到被积函数

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第三步:确定积分区间

这一步是最难的,这里给两种思考方案:

方案一:在xy域上找区间

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先看内积分的取值范围,即u的取值范围,先将v看做定值。黄线是v取不同值时的函数轨迹,我们关心的是这些黄线在什么时候进入XY的区域,什么时候离开,这就是u的积分空间。很明显,在y=1时,有u=v,在x=1时,有u=1。得到u的积分区间为[v,1]。

在看外积分的取值范围,xy最小值为0,最大值在XY区间的右上角,为1。所以v的积分区间为[0,1].

方案二: 在uv域上找区间

把xy域上的所有边界都变化到uv上

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最后得到变换变量后的积分:

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温馨提示:通过以上关于五分钟MIT公开课-多元微积分:变量转换内容介绍后,相信大家有新的了解,更希望可以对你有所帮助。