mit多变量微积分笔记(多变量微积分公式)
五分钟MIT公开课-多元微积分:变量转换
简介
关于变量的转换其实在之前的知识中已经有一些接触了,请参考
五分钟MIT公开课-多元微积分:极坐标的二重积分
关于二重积分的知识可以回顾:
五分钟MIT公开课-多元微积分:二重积分
五分钟MIT公开课-多元微积分:二重积分的应用
这一节是对这一问题更深入的探讨。
知道如何在直角坐标系中处理二重积分,也知道直角坐标系和极坐标系的互相转换,一般情况下,变量转换更加普遍。这一节讲如何在二重积分下做变量变换。
热身:计算椭圆的面积计算一个以a,b为半轴的椭圆面积。
可以在直角坐标系下求面积,但是我们发现并不容易。椭圆是一个被压扁的的圆,直接使用极坐标也不方便。所以首先,要简化:
椭圆的参数变换后,是一个单位圆,这样椭圆的面积就好算了。
用变量替换的方法会使问题变得简单。
如果问题进一步复杂,就要使用更普遍的方法。关键问题是:比例因子(scaling factor)是什么?dxdy和dudv之间的关系是什么?
线性变换例:
定义:
一般情况下,做线性变换的目的,不是简化积分就是简化积分限。(simplify the integrant or the bounds)
单位面积:
要明确的是,这种线性变换将所有的直线进行相同的变换,而且可以找到一个常比例因子(constant scaling factor).变换的四边形并不会因为位置的改变而改变。
定义比例因子:不受位置选择的影响。因为这是对变量的线性变换。
如图所示,右边绿色平行四边形为变换后的区域。
平行四边形的面积可以通过行列式来求:
负号仅仅表示方向相反。
所以
面积变为原来的三倍,方向相反了。
还有件事情要注意就是积分限也跟着变化了。
定义:通常情况:
使用矩阵表达:
当进行线性变换的时候,变换矩阵的行列式代表缩放面积系数。(可以带入验证)
变量替换的雅可比矩阵(Jocabian)表示
注意这里没有真的在求偏导数,只是表示dudv和dxdy之间有比例关系的表达方式。
例子:极坐标回顾直角坐标系到极坐标系的变化就是将 dxdy 变化为rdr d theta。现在用新的知识来解释下到极坐标的变换。
已知变换公式为:
极坐标变换的雅可比矩阵的行列式为:
所以:
补充:
如果计算从xy到uv的雅可比变换矩阵,这个矩阵和uv到xy的变换矩阵互为倒数。
如果不通过变量变换,这是一道很简单的题目。现在强行进行一组变量变换。
第一步:找到单位面积元
通过雅可比,
第二步:得到被积函数
第三步:确定积分区间
这一步是最难的,这里给两种思考方案:
方案一:在xy域上找区间
先看内积分的取值范围,即u的取值范围,先将v看做定值。黄线是v取不同值时的函数轨迹,我们关心的是这些黄线在什么时候进入XY的区域,什么时候离开,这就是u的积分空间。很明显,在y=1时,有u=v,在x=1时,有u=1。得到u的积分区间为[v,1]。
在看外积分的取值范围,xy最小值为0,最大值在XY区间的右上角,为1。所以v的积分区间为[0,1].
方案二: 在uv域上找区间
把xy域上的所有边界都变化到uv上
最后得到变换变量后的积分:
温馨提示:通过以上关于五分钟MIT公开课-多元微积分:变量转换内容介绍后,相信大家有新的了解,更希望可以对你有所帮助。