高等数学构造辅助函数的方法(构造辅助函数的万能公式)

高中数学“构造辅助函数法”在解题中的应用

由问题的条件和目标引进辅助函数，即“构造辅助函数”，这样的方法叫做“构造辅助函数法”，它是“函数与方程数学思想”中的高层次方法，能够巧妙的解决难题。

例题1、已知 a 、b 为实数，并且 e < a < b , 其中 e 是自然对数的底数，证明 a^b > b^a 。

（注：a的b次幂大于b的a次幂）

解：a^b > b^a 等价于 blna > alnb （两边同时取以e为底的对数）等价于 (lna)/a > (lnb)/b 。

由最后的不等式的两边同构，引进辅助函数

φ（x） = (lnx)/x , x ∈ (e,+∞) 。

由φ‘（x） = (1- lnx)/(x^2) < 0 , 可得 φ（x） 在 (e,+∞) 上是减函数 ，

故由 e < a < b 得 φ（a）> φ（b）, 即 a^b > b^a 得证。

例题2、求使不等式 2x - 1 > m(x^2 - 1）对于 ∣m∣ ≤ 2 的一切实数 m 都成立的 x 的取值范围。

解：构造函数 f(m) = m(x^2 - 1）- (2x-1) , m ∈[-2,2] 。

f(m) < 0 在 m ∈[-2,2] 上恒成立

等价于 f(-2) < 0 且 f(2) < 0 ；

等价于 -2（x^2-1）- (2x-1) < 0 且 2（x^2-1）- (2x-1) < 0；

等价于 2x^2 + 2x - 3 > 0 且 2x^2 - 2x - 1 < 0 ;

等价于 （√7 - 1）/2 < x < （√3+1）/2 。

所以 x 的取值范围是（（√7 - 1）/2 ，（√3+1）/2）。

注:将关于x的不等式看成关于m的不等式，进而构造函数 f(m) = m(x^2 - 1）- (2x-1) , m ∈[-2,2]。

这个函数是一次函数或常数函数，它的图像是线段，固有上面的巧妙解答。

而这是利用变量相对的观点来构造辅助函数的，从中可以看到数学的自由思考的特点！

例题3、已知椭圆 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0),A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点

P（x。，0），证明：-（a^2 -b^2 ）/a < x。< （a^2 -b^2 ）/a 。

证明：设M（x,y）是椭圆上任意一点，则

∣PM∣^2 = （x - x。）^2 + y^2 = （x - x。）^2 + b^2 (1- x^2/a^2 )

= （a^2 -b^2 ）/a^2 • x^2 - 2 x。x + x。^2 + b^2 。

引进辅助函数 f(x) = ∣PM∣^2 ,即

f(x) = （a^2 -b^2 ）/a^2 • x^2 - 2 x。x + x。^2 + b^2 ，x∈[-a,a]。

依题意，存在x1,x2∈[-a,a]，x1 ≠ x2 ，且 f(x1) = f(x2) 。

（若x1 = x2，则AB的垂直平分线平行或重合于x轴，这与题意矛盾，所以x1 ≠ x2）。

所以二次函数 f(x) 在[-a,a]上不单调，

所以对称轴 -2x。/[2×（a^2 -b^2 ）/a^2] ∈ （-a,a）,

即得：-（a^2 -b^2 ）/a < x。< （a^2 -b^2 ）/a 。

例题4、解方程：

3x • [2+√(9x^2+3) ] + (2x+1){2+√[(2x+1)^2+3]} = 0 。

解由方程的两边同构，构造函数：

f（x）= x • (2+√[x^2+3]),x∈R.

因为 f（-x）= - f（x），即 f（x）是奇函数，

所以原方程化为 f（2x+1）= f（-3x）

又因为 f（x）在R上是增函数 （ 导数 f‘（x）>0）

所以 2x+1 = -3x

即原方程的解： x = -1/5 .

温馨提示：通过以上关于高中数学“构造辅助函数法”在解题中的应用内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。