0.999999999

0.999999......8是一个什么数？理数还是无理数？

​这种问题差不多在问：龙是爬行动物、鱼类、两栖动物、鸟类、还是哺乳动物？

你是不是答不清楚？

因为要回答龙是什么纲的动物，相当于默认了龙是脊椎动物。然而龙压根不是动物。龙只是古人为天气变化等自然现象所臆想出的符号。它由一堆不同纲的动物直观特征杂糅构成。是古人对动物定义尚不明确的背景下的产物。

同理：

你问0.9999…8是有理数还是无理数，相当于默认了它是实数。但它压根不是实数。0.9999…8只不过是你根据“实数写成十进制小数后具有的一些直观特征”杂糅出的符号。是你对实数定义尚不明确的情况下将错就错的产物。

或许这个问题的源头，在于高中对实数的定义有漏洞。这个漏洞就是：

实数（即数轴上的点对应的数）都可写成十进制小数的形式，但并非任何一个十进制小数都可对应到实数（数轴上的点）。

也就是说，你创造的0.9999…8不是实数，换句话说，就是在数轴上找不到！

下面将大致讲解实数、有理数、无理数、各种小数的严格定义，以说明题主的“0.99…8”为什么既不是有理数也不是无理数。

有理数的来龙去脉

数学上规定，数轴上点对应的数是实数。

或许你觉得这简直像一句废话，其实这句话水很深。

我们必须完整地思考数的发展史。

首先，我们自然而然地有自然数（当然，自然数要严格定义也水很深，这边就略过，感兴趣的可以搜索“皮亚诺公理”）。

假想你是一个摘果子的原始人，你发现果子有1个、2个、3个…

为了方便，你把这样的数统称自然数。

有一天，你只摘到一个苹果，家里却有5口人，你就要把这1个苹果平均分成5份。

后来就出现了一帮死磕数的人叫数学家。数学家自然而然地找了一条直线，在线段上任取一段可测量的距离，规定为1个苹果的单位距离。试着把这段距离平均分为5份。

然后发现可以任意把这段单位苹果距离分为任意份。

然后就发现这个这个距离可以无限缩小（你会感觉它可以一直分下去，对，数学上称这种属性为“稠密性”）

这根线就是数轴。它把抽象的数用直观的方式表达了出来。

无理数的来龙去脉

历史上出现过一个叫毕达哥拉斯的老师，认为所有的数都可写成整数或分数。这就是当时的数的系统（了解古希腊哲学史的，会知道这种对纯粹感的追求和当时的哲学思想是完全相通的）

他还发现了著名的勾股定理。然而他一个作死的学生，西佰斯，问边长为1的正方形，其对角线的长是多少。（如何证明根号二不能写成分数看文末）

这时候毕达哥拉斯的完美分数世界就被破坏了，他就派人把学生西佰斯丢水里淹死了。

然而要发现根号二不能写成分数的大有人在。所以，原有的数系必须需得到扩充。

同时，又因为人有十个手指，十进制自然就出来了。在十进制下，通过逼近法（就是你不断拿两个相同的有限小数相乘来逼近2）可以暴力算出根号二的近似值是1.4142…于是根号二理所当然地被放在了数轴里。

这时候，我们会直观地感觉到，分数/整数这类数，和根号二这类非分数/整数的数可统称为实数，前者叫有理数，后者叫无理数。

并且可以发现，任意实数都可用十进制小数表示，因为有理数总能写为有限小数或无限循环小数，无理数总能写为无限不循环小数（读者自证不难）。

但若要严格证明“无理数总能写成无限不循环小数”的逆命题，非常麻烦，需要整个儿重新严格定义实数，就是引入戴徳金的划分思想，利用集合论把实数定义为“有理数的划分”，然后再证明无限不循环小数都是无理数。

结论：题主这样写出来的小数不属于实数，所以既不是有理数，也不是无理数！

总之，捣鼓来捣鼓去，小数能和实数互相对应的只有有限小数、无限循环小数和无限不循环小数。

题主关心的形如0.9999…8的数，就是和龙一样的四不像，不存在的。如果题主哪天发现哪个运算中真有0.9999…8这样的数，必然会成为冲垮当代数学大厦的泥石流吧！

温馨提示：通过以上关于0.999999......8是一个什么数？理数还是无理数？内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。