不定方程的题目(不定方程的例题)

关于不定方程的问题（一）

1.设x,y,z是勾股数，x是质数，求证：2z-1和2(x+y+1)都是完全平方数.

证明：x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y).

因为x是质数，所以x^2只有1,x,x^2三个正约数。由于z+y>z-y>0,所以有

z-y=1和z+y=x^2.于是由此可得，2z-1=x^2,

2(x+y+1)=2x+2y+2=2x+x^2-1+2=(x+1)^2

所以2z-1和2(x+y+1)都是完全平方数。

2.求证：勾股三角形的直角边的长度能取任何大于2的正整数.

证明：当n是大于1的奇数时，（n^2-1）/2和（n^2+1）/2都是正整数，并且

n^2+[(n^2-1)/2]^2=[(n^2+1)/2]^2.

当n是大于2的偶数时，n^2/4-1和n^2/4+1都是正整数，并且

n^2+(n^2/4-1)^2=(n^2/4+1)^2.

由以上两式可以看出，勾股三角形的一直角边n可取大于2的任何正整数。

3.求证：在勾股三角形中，

（1）必有一条直角边的长是3的倍数；

（2）必有一条直角边的长是4的倍数；

（3）必有一条边的长是5的倍数。

证明：设该勾股三角形的三边的长分别为a,b,c(c是斜边)，则a^2+b^2=c^2.只要证明a,b,c是基本勾股数时的情况。不失一般性，设b为偶数，则

a=p^2-q^2,b=2pq,c=p^2+q^2,

其中p,q满足上述条件。

（1）若p,q中至少有一个是3的倍数，则b是3的倍数；若p,q都不是3的倍数，设

p=3k+1,p=3k-1,q=3l+1,q=3l-1,则

a=p^2-q^2=(3k+1)^2-(3l+1)^2

=9k^2+9l^2+6(k+1)

与a=p^2-q^2=(3k-1)^2-(3l-1)^2

=9k^2+9l^2-6(k-1)

是3的倍数。

（2）由于p,q一奇一偶，所以b=2pq是4的倍数。

（3）若a,b都不是5的倍数，则a^2的5是1或9；b^2的末位数字是4或6.

1+4=5，1+6=7，9+4=13，9+6=15，

由于一个完全平方数的末位数不可能是7和3，所以c^2=a^2+b^2的末位数只可能是5，于是c的末位数是5.

温馨提示：通过以上关于关于不定方程的问题（一）内容介绍后，相信大家有新的了解，更希望可以对你有所帮助。