流形上的向量场(流形上的矢量)

流形中的向量（或者矢量）和向量场

1）流形中的向量是线性代数中矢量空间的推广，中间需要欧式空间过渡下，否则很抽象。所以一定要深刻理解矢量空间；2）向量空间没有点的概念，但是欧式空间中，点是最基本的概念。首先建立（欧式空间中的）点和向量空间的联系；3）人们发现欧式空间中的任意一个点为基础，各种方向和长度的直线段，满足矢量空间的条件（俗称线性8条件）；4）我们反过来思考，欧式空间中的向量是先有的，矢量空间是抽象后的概念。正好反过来，很好玩；5）既然欧式空间中的任意一个点为基础，各种方向和长度的直线段是一个无限元素的集合，这个集合就是一个矢量空间。那么很自然，流形上的点是否可以这么做？6）不可以，因为流形上的点，相对来说，还好确定，只是坐标分量比较多而已，但是方向无法确定啊？不像欧式空间，方向可以用直线段上的一点的坐标来描述。而流形则不同，你再找另外一个点，没意义了，因为流形是连续变化的空间；

7）那如何定义方向呢？1）那只能重新定义方向了。设v是R3中任一点p的一个箭头，则对R3上的人一光滑函数就可以沿着v求方向导数，这导函数在p点的值是一个实数。可见，v就是一个把f变为实数的映射；8）所以流行中的向量，必定是方向导数，为何如此，是因为流形的方向，必须用更本质的方向的定义；9）万幸的是，求导也是线性的，并无违反“线性8条件”。指的注意的是，求导还满足莱布尼兹律，这个性质很重要；10）好了，上面有结论，向量就是一个把函数f变为实数的映射。那么张量是否如此呢？11）之所以提出这样的问题，是因为我们知道，一维张量就是向量。12）张量当然也可以！而且更有意思！张量也是函数变为实数的映射！用广义相对论的黎曼曲率张量做例子是最合适不过了！

13）广义相对论表明，和坐标无关，和参数也无关。意思就是说，指定了一个点（四维时空单元），那么黎曼所有函数的值都确定了，好吧。爱因斯坦就想，左边的时空变换的实数值，和右边能量对应的实数值，必然有一定的正比关系！这个比例常数，是可以使用近似下的牛顿引力公式得出来的；14）天啊。定义域不重要，值域也不重要。就是映射相等便可。还有别的张量方程么？15）爱因斯坦场方程是广义相对论的核心，点（四维时空单元）不重要，但点对应的函数芽是重要，正如上述所说，向量就是方向导数，函数芽是余切，那么是一阶，函数芽空间对偶的空间需要求二阶（因为曲率是二阶求导）是三阶，所以黎曼曲率张量的阶是1+1+2=4阶。16）很显然，f随便不同的物理量是不同的，那么各种f的方向导数就是对应的向量场，比如引力函数为f3，那么f3的方向导数就是对应的引力场。请问上述理解对么？还有哪些张量方程呢？

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