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1987年高考数学难吗(1987年高考数学试题及答案)

导语:1987年高考数学真题,高三学生:早生几十年,自己也是学霸

大家好!本文和大家分享一道1987年高考数学真题。这道题是当年文史类数学试卷的第七题(共八题),题目看似很难,但是掌握方法后其实很简单,甚至不少高三学生表示:按照这个难度,如果早生几十年,自己也是个学霸了。那么,我们一起来看一下这道题。

这是一道数列与极限的题目,先看第一问:已知数列前n项和Sn与an的关系,求数列的通项公式。

在高考中,已知数列的前n项和Sn,求通项公式有两种常考形式,一是Sn=f(n),二是Sn=f(an)。

先看第一种形式,即Sn是一个关于n的函数关系,这种情况下求解的基本思路是:根据题目中告诉的Sn的关系式,写出S(n-1),当然此时n≥2,然后两个相减就能得到an与a(n-1)的关系,接下来再求通项公式即可。比如下图的这个例子。

需要注意的是,遇到这类题目一定要对n=1进行单独讨论,否则很容易出错。

再看第二种形式,即Sn是关于an的函数关系。这种情况的解题思路是Sn和an只保留一个(具体方法见下图),当然如果是求通项公式,那么优先选择保留an。如果是保留an,那么就可以得到两项之间的关系,然后根据情况继续处理。如果是保留Sn则可以得到Sn关于n的表达式,再按照前面的方法处理即可。

回到这道高考真题。本题很明显属于第二种形式,所以可以先写出S(n+1),再减去Sn,这样就得到了a(n+1)与an的关系。经过变形可以得到:[a(n+1)]/an=k/(k-1),而k为不等于1的实数,即k/(k-1)为一个常数,所以数列an就是以k/(k-1)为公比的等比数列。

要求等比数列的通项公式,那么只需要知道首项和公比即可,所以接下来还需要求出首项。由于a1=S1,所以a1=ka1+1,这样就可以求出首项,此时就能轻松求出an的通项公式了。

再看第二问:求k的取值范围。

已知n趋于∞时,Sn的极限,那么可以先根据等比数列求和公式求出Sn的表达式。接下来根据极限值对表达式进行处理,从而得到|k/(k-1)|<1这个不等式,即-1<k/(k-1)<1,解出这个不等式就可求出k的取值范围。

需要注意的是,这是这个分式不等式,不能简单的同时乘以k-1来求解,而应该进行分类讨论或者化分式为整式进行求解。不少同学在解这个不等式时出错了,真的太可惜了。

当然,这一问还可以用其他方法。比如将Sn=kan+1代入极限的表达式,并将第一问得到的an的通项公式代入后化简,同样可以求出k的取值范围。

对于现在的高三学生来说,这一道题的难度确实不大,那么你会做吗?

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