函数图像交点问题例题(函数与函数的交点怎么求)

导语：「直击中考」与函数图像的交点有关问题

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关于函数部分的考题，不论是中考题，还是平时的练习题，都有涉及两个函数的交点的问题。交点问题主要有三类：(1)两直线相交；(2)直线与抛物线相交；(3)直线与双曲线相交。

一、交点是什么？

1.我们知道，直线y=kx+b(k≠0，k、b是常数)与直线y=mx+n(m≠0，m、n是常数)的交点的情况取决于一元一次方程kx+b=mx+n的解的情况，即：(1)当k=m,且b=n时，方程kx+b=mx+n有无数多个解，此时，两直线有无数多个交点（两直线重合）;(2)当k≠m时，方程kx+b=mx+n有一个解，此时两直线有一个交点（两直线相交）；(3)当k=m,且b≠n时，方程kx+b=mx+n无解，此时两直线无交点（两直线平行）。两直线相交时，其交点坐标就是方程组

的解。反之，如果方程组有解，两直线就相交。

2.我们也知道，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点的情况取决于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的情况。看下图

事实上，跟直线与直线的交点情况一样，抛物线与x轴（x轴实际上是y=0）如果有交点，其交点坐标是点方程组

的解。方程组的解就是它们的交点坐标。

3.直线y=kx+b与双曲线y=k/x的交点情况同样如此。如果方程组

有解，则方程组的解就是它们的交点坐标，反之，交点坐标就是方程组的解。

因此，凡是函数图像的交点问题，都可以转化为方程组来解决，反之，方程组的问题可以转化为函数图像的交点问题来解决。

二、抛物线与直线的交点考题

1.抛物线于x轴（直线）相交

例：已知，抛物线y=ax²+1与x轴的一个交点是（-2,0），则方程a(x-2)²+1=0的根是________.

分析：抛物线y=ax²+1与x轴的交点的横坐标是方程ax²+1=0的两根。根据抛物线的对称性，抛物线y=ax²+1与x轴的另一个交点是（2,0），所以，方程ax²+1=0的两根是x1=-2,x2=2.但是此题求的是方程a(x-2)²+1=0的根。而方程a(x-2)²+1=0的根是抛物线y=a(x-2)²+1与x轴的交点，只要由抛物线y=ax²+1与x轴的交点能得出抛物线y=a(x-2)²+1与x轴的交点，即可得出方程a(x-2)²+1=0的根。由下图我们即可得到答案。

平移

2.抛物线与平行于x轴的直线相交

例：已知直线y=k(k为常数)与抛物线y=x²-4x-5有交点，则kd的取值范围是___________.

分析：依题意，方程x²-4x-5=k有解，因此，由△≥0即可求出k的取值范围。

△＜0 △=0 △＞0

答案：k≥-9.

3.抛物线与直线y=kx+b(k≠0，k、b是常数)相交

例：已知，直线y1=x+2与抛物线y2=-x²-2x+3,则当y1＜y2时，x的取值范围是_______________.

分析：只要求出方程-x²-2x+3=x+2的两根x1、x2,若x1＜x2，则x1＜x＜x2.

4.抛物线段与直线相交

例：

第(1)、(2)小题是常见的题目，直接给出答案：

(1)y=x²/2-x+2;(2)策略。

分析：见下图

从上图可以看出，当直线在向上平移的过程中，它与抛物线段（红色部分）的交点的情况是：在0个交点→1个交点→2个交点→1个交点→0个交点之间变化。那么，当b在什么范围内，会出现两个交点呢？由上面的动图可以看出，只要求出，直线y=-x/2+b与抛物线y=x²/2-x+2只有一个交点，即方程x²/2-x+2=-x/2+b的△=0时，所对应的b值，以及直线y=-x/2+b过点C时，所对应的b值，（因为直线在上移的过程中，是先经过点C,如果没有动图，我们不知道直线先经过哪个点，那就把经过点B、C时所对应的b值都求出来进行比较，选较小的。想一想为什么？）。

答案：15/8＜b＜3.

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