概率论中互不相容和相互独立的区别(概率论互不相容和独立是一个意思吗)
导语:「概率论与数理统计」互不相容和相互独立的概念,应用到题目中
互不相容在概率论与数理统计当中,有一种概念,叫做互不相容,从字面意思上来理解,便是两者不能容忍各自的存在,假定事件A和事件B互不相容,那么事件A存在,事件B必定不存在;反之,事件B存在,事件A必定不存在。
相互独立而相互独立,便是两个事件的发生互相之间没有关系,都是各自独立存在的事件。
假设事件A和事件B相互独立,那么事件A可以和事件B同时存在,也可以不同时存在,也可以事件A存在事件B不存在,同样也可以事件A不存在而事件B存在。
一般来说,当两个事件满足P(A)(B)=P(AB)的时候,我们就说这两个事件相互独立。
实践出真知:给出两道例题第一题:
第一题
这道题给出三个事件,其中事件A与事件C互不相容,既可以说明事件A存在,事件C就不存在。
然后其中的¯C表示1-C,也就是C的对立事件,那么,¯C必然包括事件A,也包括事件A与事件B的交集。
又因为P(AB|¯C)是根据条件概率的定义来进行计算,可以得到:
P(AB|¯C)=P(AB¯C)/P(¯C),因为¯C包括事件A与事件B的交集,所以可以写为P(AB)/P(¯C)。
得到(1/2)/(1-1/3)=(1/2)/(2/3)=3/4。
结果如下图所示:
步骤一
第二题:
第二题
这道题说事件A与事件B相互独立,第一可以想到P(AB)=P(A)P(B)。
然后也能够得到A与¯B相互独立、¯A与B相互独立,接下来我来证明为什么。
首先要证明一个公式:P(A¯B)=P(A-B)
A-B我们可以理解为事件A与事件B之间的差,那么就是事件A发生,但是事件B不可能发生。
¯B之前介绍过了,它是事件B的对立事件,为1-B,那么事件A与¯B之间的乘积,也可以理解为事件A发生,事件B的对立事件发生,也就是事件B不发生,所以前后两个式子可以等同。
要证明A与¯B相互独立,即要得到P(A¯B)=P(A)P(¯B)。
因为P(A¯B)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(¯B)。
所以,证明得到A与¯B相互独立,同理,B与¯A相互独立。
那么,做这道题就很简单了:
P(A-B)=P(A¯B)=P(A)P(¯B)=P(A)P(1-B)=0.3。
P(A)=0.3/P(1-B)=0.3/0.5=0.6。
P(B-A)=P(B¯A)=P(B)P(¯A)=0.5X0.4=0.2,所以,答案选择B选项。
结果如下图所示:
步骤二
总结:
总的来说,这些题目都不难,关键就是熟练掌握互不相容和相互独立两种概念,熟能生巧,方能会做题,才会这道心中有数,心中有底,加油吧。
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