三角形的中位线定理(三角形的中位线怎么证明)

导语：三角形的中位线

提要

三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线，全等三角形，平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法。

知识全解

一．定义

连接三角形两边中点的线段称为三角形的中位线

提示：

三角形的中位线与三角形中线是两个不同的概念，三角形中线是三角形一边中点与折条边所对的顶点的连接线段。

二．性质

三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

方法点拨

类型1 求角度

例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∠B=50度。先将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则BDA1的度数为___

【分析】由折叠的性质可知AD=A1D，根据中位线的性质得DE‖BC，再根据平行线性质计算角度

【解答】∵D，E分别是边AB，AC的中点

∴DE‖BC

∴∠ADE=∠B=50度

又∵∠ADE=∠A1DE

∴∠A1DA=2∠B

∴∠BDA1=180-2∠B=80度

【点评】本题将三角形中位线定理与折叠问题结合起来了，解题关键是抓住折叠前后图形全等。

类型2 根据三角形的中位线证明

例2 如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=BD，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交BD，AC于点G，H。求证：OG=OH

【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF=∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH=∠OHG，根据等角对等边即可证得。

【解答】取BC边的中点M，连接EM，FM

∵M，F分别是BC，CD的中点

∴MF‖BD，MF=1/2BD

同理：ME‖AC，ME=1/2AC

∵AC=BD

∴ME=MF

∴∠MEF=∠MFE

∵MF‖BD

∴∠MEF=∠OGH

同理，∠MEF=∠OHG

∴∠OGH=∠OHG

∴OG=OH

【点评】在解答多中点问题时，如果无法直接运用三角形中位线定理，可以再取中点，构造三角形中位线解答。

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