勾股数和直角三角形的关系(勾股数与直角三角形三边区别)

导语：八年级上学期，勾股数与直角三角形的判定问题，重在理解与计算

勾股定理，相信同学们都不陌生，是一个基本的几何定理。勾股定理指的是在一个直角三角形中，两条直角边的平分和等于斜边的平方，注意能够使用勾股定理的前提条件是，这个三角形为直角三角形。但是，冷不丁地问你，什么勾股数？估计还是有不少同学会一脸懵，特别是初三同学在刚进行一轮复习时，对这个概念不是很熟悉。

那么，什么是勾股数呢？勾股数首先要满足勾股定理，即较小数的平方和等于最大数的平方；其次，还要满足这三个数都是正整数。比如我们常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41……勾股数有无数组。再比如0.3、0.4、0.5虽然也满足勾股定理，但是这三个数是小数，那么这三个数不能称之为勾股数。

例题1：下列四组数据中是勾股数的有（ ）组

（1）5、7、8 ；（2）根号3、根号6、3；（3）9、12、15； （4）3^2，4^2，5^2； （5）12，15，20；（6）7，24，25；（7）n^2+1，n^2-1， 2n（n＞1）.

分析：三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数。

解：5、7、8不是勾股数，5的平方+7的平方≠8的平方；根号3的平方+根号6的平方等于3的平方，但是根号3和根号6不是正整数，所以也不是勾股数；9、12、15是勾股数；3、4、5是勾股数，但是3的平方等于9，4的平方等于16，5的平方等于25，而9的平方+16的平方≠25的平方，因此不是勾股数；7、24、25是勾股数；最后三个数虽然满足勾股定理，但是不能保证三个为正整数，因此也不是勾股数，一共有两组。

那么，如何判断一个三角形是否为直角三角形呢？现在一般有两种思路，其一，看角，一般利用三角形的内角和为180°，得到某个角为90°；其二，看边，得到两边的平方和等于第三边的平方。

例题2：下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠C=90°，③AC：BC：AB=3：4：5，④∠A：∠B：∠C=3：4：5．⑤a^2=（b+c）（b-c）中，能确定△ABC是直角三角形的有（ ）个.

分析：分别求出最大的角的度数，然后根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答。

解：①∠A+∠B=∠C时，∠C=90°，是直角三角形；②∠C=90°，是直角三角形；③AC：BC：AB=3：4：5，∴3^2+4^2=5^2，是直角三角形；④∠A：∠B：∠C=3：4：5时，∠C=180°÷（3+4+5）×5＜90°，是锐角三角形；⑤a^2=（b+c）（b-c），a^2=b^2-c^2，是直角三角形．故能确定△ABC是直角三角形的有4个．

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