有限元的基本思想是什么(有限元的基本思路)

导语：有限元思想来源

有限元方法的想法来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。对不同结构的杆系、不同的载荷，用矩阵结构法求解都可以得到统一的矩阵公式。从固体力学的角度来看 ，在一定的受力和约束条件下桁架结构的变形方式与连续的方板的变形方式之间存在一定的相似性，复杂形状的板可以等价为通过结点连接的多个矩形板或三角形板，这就产生了一个来自结构类比的想法， 即可以把矩阵结构法的求解原理推广到非杆系结构问题的求解。

对此，有限元分析目的：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息（位移、应变、应力）。

在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度、刚度等方面的评判，以便对不合理的设计参数进行修改，以得到较优化的设计方案，然后再次进行方案修改后的有限元分析，以进 行最后的力学评判和校核，确定出最后的设计方案。

为什么采用有限元方法就可以针对具有任意复杂几何形状的结构进行分析，并能够得到准确的结果呢？这是因为有限元方法是基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代 替非常复杂的原函数。

一个复杂的函数，可以通过一系列的基函数的组合来“近似”，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法：基于全域的展开和基于子域的分段函数组合。

在科学研究和工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。第一类可以归结为有限个已知基本元素的组合，如材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构等，称之为离散问题；第二类为连续介质， 通常可以建立这些问题遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。与离散问题不同，在建立基本方程时所研究的对象通常是无限小的单元，所以这类问题称为连续体问题，例如热传导问题、弹性力学问题、 电磁场问题等。进一步拓展有限元方法，可将其应用到连续介质问题的各个分析领域。

具体讲，有限元的核心就是偏微分方程的近似解和离散化。一，偏微分方程近似解的核心可归结为泛函数，即找到一个函数去最小化泛函数，类似于最小势能原理，可采用变分法，即令泛函数的一阶变分等于零。该部分通过分布积分后可控制方程和边界条件。于是问题转化为求解带有边界的偏微分方程，通常采用弱形式和雷诺里滋法满足边界条件来获取求解结果。二，离散化即通过网格把连续体进行离散，计算其单元刚度矩阵、质量矩阵等再利用假设的形函数对单元节点进行插值映射，并再全局坐标系下组装成统一的全局刚度矩阵和质量矩阵等，从而求解偏微分方程组解。

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