二元不定方程怎么解(二元二次不定方程怎么解)

导语：从数学思维的良性循环看二元不定方程M=1/x±1/y解法探究

如果你不懂分数的基本性质就不要点进来啦！本文涉及到约分的思想和比的性质，这里有关于研究数论方面的新方法……

我们知道，

分数的基本性质:

分数的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变。

同样，对于分式，有

分式的基本性质:

把一个分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变。

今天，我们就要利用分数(或分式)的基本性质，来把一个真分数写成几分之一加(或减)几分之一的形式，即P/Q=1/x±1/y，(P<Q)。

下面我们来分类讨论:

Ⅰ [1/A型]

把分子为1的分数的化为几分之一加(或减)几分之一的形式，即1/A=1/m±1/n。

【例1】把1/50写成1/( )+1/( )的形式。

【分析】

根据题意即为解二元一次不定方程:1/50=1/x+1/y。

怎样把一个分数换成两个分数的和的形式呢？根据分数的基本性质，我们可以把分数的分子和分母同乘以两个数和的形式，再把分子拆开即可。

比如，1/50的分子、分母都乘以不为零的数(a+b)，有

1/50=(a+b)/50(a+b)

=a/50(a+b)+b/50(a+b)

这就把1/50写成了两个分数的和的形式，显然，要使a/50(a+b)和b/50(a+b)都是分子为1的分数，只需a、b为50的因数即可(当然，a、b皆为(a+b)的因数亦可，不过，此时仅有a=b一种情形，这个证明过程，可以看我的另一篇文章:两个自然数的和同时能被这两个自然数整除，当且仅当这两个自然数相同)！

而50的因数有1，2，5，10，25，50六个，这样，两两组合可有如下十五种情形:

1与2，1与5，1与10，1与25，1与50；

2与5，2与10，2与25，2与50；

5与10，5与25，5与50；

10与25，10与50；

25与50。

这样的话，1/50就可化为15种不同的形式，比如，我们选用最后一组，即a=25，b=50，即有

1/50=(25+50)/[50x(25+50)]

=25/[50x(25+50)]+50/[50x(25+50)]

=1/150+1/75；

若选取“5与25”，即a=5，b=25，则有

1/50=1/300+1/60。

但若选取“10与50”，即a取10，b取50时，仍有1/50=1/300+1/60的结果，这是为什么的呢？

原来是5/25=10/50的缘故呦！

证明如下:

在1/50=(m+n)/[50(m+n)]

=m/[50(m+n)]+n/[50(m+n)]和

1/50=(p+q)/[50(p+q)]

=p/[50(p+q)]+q/[50(p+q)]中

若m/n=p/q，则m/p=n/q，由合比定理知，

(m+n)/(p+q)=m/p，即有

50(m+n)/m=50(p+q)/p，

故，m/[50(m+n)]=p/[50(p+q)]，

同理，由(m+n)/(p+q)=n/q，易知

n/[50(m+n)]=q/[50(p+q)]，

所以，

m/[50(m+n)]+n/[50(m+n)]

=p/[50(p+q)+q/[50(p+q)]，

即有(m+n)/[50(m+n)]=(p+q)/[50(p+q)]。

这就是说，因数比相同的组合，其改写后的形式是完全一样的。

在上面的15种组合中，比值相同的有:

1/2=5/10=25/50；

1/5=2/10=5/25=10/50；

1/10=5/50；

1/25=2/50；

2/5=10/25。

所以，在这十五种组合中应去掉表现形式重复的八种，那就仅有七种不同的表现形式了。

显然，若a和b都是(a+b)的因数，根据我已有的结论，此时，当且仅当a=b，即a、b同为50的六个因数中的任一个！

比如，当a=b=1时，有

1/50=(1+1)/[50x(1+1)]

=1/[50x(1+1)]+1/[50x(1+1)]

=1/100+1/100，

而a=b=5时，仍有1/50=1/100+1/100。

事实上，由a=b，知

1/M=(a+b)/[M(a+b)]

=a/[M(a+b)]+b/[M(a+b)]

=1/(2M)+1/(2M)，

即1/50=1/100+1/100。

所以，把1/50写成几分之一加几分之一的形式共有八种，其中有一种是同分母的和！

【例2】把1/50写成1/( )-1/( )的形式。

【分析】1/50可写成

(a-b)/[50(a-b)]=a/[50(a-b)]-b/[50(a-b)]

此时，要注意a>b。仿照例1，有

50的因数有50、25、10、5、2、1六个，其中任取两个，将有C(6，2)=15种组合形式！

50x25；50x10；50x5；50ⅹ2；50x1；

25ⅹ10；25x5；25x2；25x1；

10x5；10x2；10x1；

5x2；5x1；

2x1。

同例1，去掉比值相同的那八种有重复的组合，仅有七种不同的表现形式！

若，我们令a=2，b=1，可有

1/50=(2-1)/[50x(2-1)]

=2/[50x(2-1)]-1/[50x(2-1)]

=1/25-1/50；

同理，当a=50，b=10时，有

1/50=(50-10)/[50x(50-10)]=1/50-1/200；

而当a=25，b=1时，则有

1/50=(25-1)/[50x(25-1)]=1/48-1/1200。

不过，本例与例1稍有不同，由于分数的分母不能为零，即a-b≠0，则a≠b！

故，把1/50写成几分之一减几分之一的形式共有7种。上面我已给出了三个答案，其余的四个，就请大家把它当作你的“小白菜”，慢慢地去“拱”吧！

Ⅱ [B/A型]

把分数B/A改写成几分之一加(或减)几分之一的形式，即B/A=1/x±1/y。

【例3] 填入自然数:

5/36=1/( )+1/( )。

【分析】

这是把一个分数写成分子为1的两个分数的和的形式，即B/A=1/x+1/y。

根据分数的基本性质和分数约分的思想，易知:

B/A=[(m+n)B]/[(m+n)A]

=mB/[(m+n)A]+nB/[(m+n)A]。

因为，对于最简分数B/A来说，A、B是互质的，不可约的，故只有m、n均为A的因数，且B=m+n或m+n是B的整数倍时，才能使分子mB、nB同其分母分别相约分。

我们易知，36的因数有36、18、12、9、6、4、3、2、1共九个，但两两相加和为5的仅有两种:3+2=5，4+1=5；可是和为5的整数倍的则有六种: 36+4=40，18+12=30，18+2=20， 12+3=15，9+1=10，6+4=10。

所以，本题将有八种算法，但要注意，并不是有八个答案，因八种算法中有相同的，那么是哪几种算法的答案相同呢？

原来，m/n的值相同的，其答案是一样的。

为什么？(请君慢慢思考吧！)

这样，因18/12=6/4=3/2，36/4=18/2=9/1，

12/3=4/1，故本题有三种不同的填法。

下面给出两种不同填法的解答:

①5/36=[5ⅹ(3+2)]/[36x(3+2)]

=(5x3)/[36x(3+2)]+(5x2)/[36ⅹ(3+2)]

=1/12+1/18；

②5/36=[5ⅹ(4+1)]/[36x(4+1)]

=(5x4)/[36x(4+1)]+(5x1)/[36x(4+1)]

=1/9+1/36。

另外，还有一种填法为:

③5/36=1/8+1/72。

【例4】德国竞赛题:

填入自然数，使等式4/25=1/( )-1/( )成立。

【分析】仿照例3的思路，有

B/A=[(m-n)B]/[(m-n)A]

=mB/[(m-n)A]-nB/[(m-n)A]，

即m、n均为A的因数，且B为m-n的整数倍。

而25的因数有25、5、1三个，其中两因数相差为4的整数倍的有三种:

5-1=4，25-5=20，25-1=24，

但是，前两种的比值(m/n)相同，即5/1=25/5，二者答案相同，故本题仅有两解！

下面，我们来看一下计算过程吧:

①4/25=[4ⅹ(5-1)]/[25x(5-1)]

=(4x5)/[25x(5-1)]-(4x1)/[25x(5-1)]

=1/5-1/25；

或者，

4/25=[(25-5)x4]/[(25-5)x25]

=(25x4)/(20x25)-(5x4)/(20x25)

=1/5-1/25；

②4/25=[(25-1)x4]/[(25-1)x25]

=(25x4)/(24ⅹ25)-(1x4)/(24x25)

=1/6-1/150。

【反馈]通过上面的四个例子的学习，我们都可以将一个真分数拆分成分子为1的两个分数的和或差的形式了。今后遇到小学奥数题:P/Q=1/x±1/y，(P<Q)是不是有种妙杀的感觉啊！

总之，利用分数的基本性质，是解二元不定方程:P/Q=1/x十1/y，(P<Q)的行之有效的好方法！

【大显神手】

①填上大于1的自然数:1/7=1/( )-1/( )；

②填入不同的自然数:1/70=1/( )+1/( )；

③填入自然数:5/24=1/( )-1/( )。

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