利用方差解难题的方法(利用方差解难题的例子)

导语：利用方差解难题

公式（2）表明一组数据的方差等于这组数据的平方和的平均数减去平均数平方的差．

构造方差可以巧妙地解决一些有关实数和与平方和问题．

一、证明不等式

例1　已知实数a、b、c满足a+b+c=1．求证：a^2+b^2+c^2≥1/3．

证明：由已知，a、b、c的平均数为1/3，设方差为s^2，则由计算公式（2）及性质①，得

s^2=1/3·[a^2+b^2+c^2-3×(1/3)^2]

=1/3·(a^2+b^2+c^2-1/3)≥0，

∴a^2+b^2+c^2≥1/3．

例2 已知实数a、b、c满足a^2+b^2+c^2=1．求证：-√3≤a+b+c≤√3．

证明：设a、b、c的平均数为x，方差为s^2，

则由已知及计算公式（2）和性质①，得

s^2=1/3·(1-3x^2)≥0，

整理，得x^2≤1/3，-√3/3≤x≤√3/3，

因为a+b+c=3x，

所以-√3≤a+b+c≤√3．

二、证明相等

例3 已知实数x、y、z满足

x^2+y^2+z^2+3=2（x+y+z），

求证：x=y=z．

证明：设x、y、z的平均数为m，方差为s^2，

则x+y+z=3m，

s^2=1/3·（x^2+y^2+z^2-3m^2），

由已知，得

x^2+y^2+z^2=2（x+y+z）-3=6m-3，

代入上式，得

s^2=1/3·(6m-3-3m^2)

=-3(m^2-2m+1)

=-3(m-1)^2≤0，即s^2≤0，

又s^2≥0，所以s^2=0，

故由性质②，得x=y=z．

例4　已知实数x、y满足：x^2+y^2+2a^2=2a（x+y），

求证：x=y．

证明：设x、y的平均数为m，方差为s^2，

则x+y=2m，

s^2=1/2·（x^2+y^2-2m^2），

由已知，得x^2+y^2=2a(x+y)-2 a^2=4am-2 a^2，

代入上式，得

s^2=

（4am-2 a^2-2m^2）

=-2(a^2-2am+m^2)

=-2(a-m)^2≤0，即s^2≤0，

又由性质①，知s^2≥0，

所以s^2=0，

故由性质②，得x=y．

三、解方程组

例5　求方程√x+√(y-1)+ √(z-2)=1/2·（x+y+z）的实数解．

解：设√x=a，√(y-1)=b，√(z-2)=c，

则a^2=x，b^2=y-1，c^2=z-2，

从而x=a^2，y=b^2+1，z=c^2+2，

原方程化为：a+b+c=1/2·（a^2+b^2+c^2+3）．

设a、b、c的平均数为m，则a+b+c=3m，

从而a^2+b^2+c^2=2（a+b+c）-3=6m-3，

∴a、b、c的方差

s^2=1/3·（a^2+b^2+c^2-3m^2）

=1/3·（6m-3-3m2）

=-(m^2-2m+1)

=-(m-1)^2≤0，即s^2≤0，

又由性质①，知s^2≥0，

所以s^2=0，从而m=1，

故由性质②，得a=b=c=m=1．

所以√x=√(y-1)=√(z-2)=1，

所以x=1，y=2，z=3．

四、求最值

例6　已知实数a、b、c、d、e满足

a+2b+3c+4d+5e=30，

设W=a^2+2b^2+3c^2+4d^2+5e^2，求W的最小值．

解：由已知，得a、b、b、…、e、e、e、e、e（即1个a、2个b、3个c、4个d、5个e）这15个数据的平均数为2，设它们的方差为s^2，则

s^2=1/15·（W-15×2^2）

=1/15（W-60）≥0，

所以W≥60，

所以W的最小值为60．

例7　设m、n、p均为正实数，且m^2+n^2-p^2=0，求p/(m+n)的最小值．

解：由已知，m^2+n^2=p^2，

所以m、ｎ的方差

s^2=1/2{m^2+n^2-2[(m+n)/2]^2}

=1/2·[p^2-1/2·(m+n)^2]≥0，

∴p^2≥1/2·(m+n)^2，

又m、n、p均为正实数，

∴p^2/(m+n)^2≥1/2，

所以p/(m+n)≥√2/2．

故当m=n时，p/(m+n)取最小值√2/2．

例8　求函数y=√(1+sinx)+ √(1-sinx)的最大值．

解：由已知函数，得√(1+sinx)与√(1-sinx)的平均数为1/2·y，

所以√(1+sinx)、√(1-sinx)的方差

s^2=1/2·[1+sinx+1-sinx-2(1/2·y)^2

=1/2·(2-1/2·y^2)≥0，

∴y^2≤4，y≤2，

故当√(1+sinx)=√(1-sinx)，

即sinx=1，x=90°时，y的最大值为2．

五、求字母取值范围

例9　设实数a、b、c满足a^2-bc-8a+7=0……（1）

b^2+c^2+bc-6a+6=0……(2)

求a的取值范围．

解：由已知，（2）-（1）得

b^2+2bc+c^2=a^2-2a+1，

所以b+c=±（a-1）；

（2）+（1），得

b^2+c^2=- a^2+14a-13．

故b、c的方差

s^2=1/2·{ b^2+c^2-1/2·[(b+c)/2]^2}

=1/2·[- a^2+14a-13-1/2·(a-1)^2≥0，

整理，得a^2-10a+9≤0，

解之，得1≤a≤9．

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