等边三角形的性质是什么(等边三角形的性质和定理)

导语：1.1.2等边三角形的性质

1．进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上的高，中线)的性质；

2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．(重点、难点)

一、情境导入

我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？

二、合作探究

探究点一：等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质

如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：DE∥BC.

证明：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.又因为CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，所以∠AEB＝∠ADC＝90°，所以∠ABE＝∠ACD，所以∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，所以∠EBC＝∠DCB.在△BEC与△CDB中，所以△BEC≌△CDB，所以BD＝CE，所以AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED.又因为∠A是△ADE和△ABC的顶角，所以∠ADE＝∠ABC，所以DE∥BC.

方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．

探究点二：等边三角形的相关性质

【类型一】 利用等边三角形的性质求角度

如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．

解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．

解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.

方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．

【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等

如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.

解析：要证BM＝EM，由题意证△BDM≌△EDM即可．

证明：连接BD，∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°，在△DMB和△DME中，∴△DME≌△DMB.∴BM＝EM.

方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形．

【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用

△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，求∠BQM的度数．

解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN＝∠ABC＝60°.

解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵∴△AMB≌△BNC(SAS)，

∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.

方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．

三、板书设计

1．等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质

等腰三角形两底角的平分线相等；

等腰三角形两腰上的高相等；

等腰三角形两腰上的中线相等．

2．等边三角形的性质

等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.

本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步培养空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识.

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