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希尔伯特空间数学空间的神秘之地是什么(希尔伯特空间具有哪些属性)

导语:希尔伯特空间,数学空间的神秘之地

乍见希尔伯特空间,只闻其声不明其理,当你学得正欢之时,突如其来不知所云。不禁自问,希尔伯特空间到底是什么?

We must know, we will know.——希尔伯特

空间对于人,是人与事物存在、运动的场所,空间对于数学,是“点”(元素)和几何结构的集合。

众所周知的三维空间,属于欧几里得空间——有限维度线性内积空间。

什么是欧几里得空间?

古希腊数学家欧几里得创建了距离和角之间联系的法则——欧几里得几何,由二维平面几何可扩展成三维,再到有限维度抽象几何空间,称为欧几里得空间。其中维度是描述空间内一个点所需参量的个数——坐标数,例如三维空间中的点a=(x1,x2,x3)。

若把人的活动约束在学校,那么就是学校空间,同理,对点和几何结构进行各种约束,就构成了不同的数学空间。

1、度量空间:定义了距离的空间。

对空间(集合)中任意两点a,b,若D(a,b)满足:

非负性、同一性:D(a,b) ≥ 0 ,当且仅当a = b时,D(a,b) = 0;对称性:D(a,b) = D(b,a);不等式:D(a,b) ≤ D(a,c) + D(c,b)。

则D(a,b)就可以称为空间的一个距离。

2、线性空间:定义了距离后,增加线性约束的空间。向量的加法、乘法满足交换律、结合律等,简而言之就是符合线性叠加原理,F(a+b+c)=F(a)+F(b)+F(c)。

3、赋范空间:定义了范数,是绝对值(形式|a-b|)的延伸,是对向量、函数和矩阵定义的一种距离度量形式,如距离D(a,b)=||a−b||。

4、内积空间:规定了内积,引入夹角概念的空间。比如向量a·b=|a||b|cosθ=(x1,x2,x3)·(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3。

至此,在各种约束条件下,有限维度+度量+线性+范数+内积=欧几里得空间。看似复杂的定义,其实就是一种约束的空间。

关于人,没有约束就没有自由;关于数学,没有约束的空间,庞大而无用武之地。

神秘的希尔伯特空间

当欧几里德空间不再局限于有限维,就是希尔伯特空间——无限维度完备线性内积空间。完备指的是,空间中的极限运算衍生的所有可能点都包含于空间本身——柯西序列等价于收敛序列,简言之,合理即存在。

无限维度的向量(x1,x2,x3...xn)意味着有任意个独立坐标,可以用函数表达,两个无限维度的向量的内积等价于两个函数的积分。例如傅里叶变换,一种频率函数对应一个坐标,时域中每个点都可以在频域中展开成各种频率的函数。如此一来,欧几里得空间就演变成希尔伯特空间。

傅里叶变换

在理论数学和物理中,希尔伯特空间是强有力的概念工具,例如泛函分析中,研究的对象正是函数构成的空间;量子力学中,一个物理系统必须由平面波和束缚态所构成的希尔伯特空间来表示。当然希尔伯特空间也不是万能的,比如广义相对论就必须用到非欧几何空间。

综上所述,希尔伯特空间褪去神秘,就是一种受约束的数学空间。试想构建一种数学框架套在宇宙空间中,使得宇宙空间与数学空间一一对应,是不是可以得到一切真理?或许历史总是会重演,正像希尔伯特希望建立完备自洽的数学公理系统,随着哥德尔不完备性定理的到来而破灭,又如广义相对论时空遇到量子不确定性原理,对立又不容。万物之理,何去何从,还看今朝。

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