1992年高考数学题目(1992年高考数学压轴题难度不大4种难题)

导语：1992年高考数学压轴题，难度不大，4种方法轻松求解

圆锥曲线一直是高中数学的难点，也是不少年份高考数学试卷的压轴题。本文和大家分享一道1992年高考理工农医类数学卷的圆锥曲线真题。本题也是当年该卷的压轴题，但是本题的难度却并不大，4种解法可以轻松求解。

方法一：点差法

在圆锥曲线的题目中，出现了曲线上的两个点以及这两点的中点，那么点差法是一个非常实用的方法。

首先设两点的坐标，A(x1,y1),B(x2,y2)，然后将这两点坐标代入圆锥曲线方程再作差，所以叫点差法。比如本题中作差后再变形，可以得到(y1-y2)/(x1-x2)=-b^2(y1+y2)/a^2(x1+x2)。因为直线AB的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)，所以点差法处理后可以表示出直线的斜率。

又(x1+x2)、(y1+y2)分别为中点横、纵坐标的2倍，设中点为Q(xq,yq)，所以化简后k=-b^2yq/a^2xq。

接下来就可以用点斜式表示出AB垂直平分线的方程，然后再求出x0，即：

x0=(a^2-b^2)xq/a^2。因为-a＜xq＜a，代入即可得证。

方法二：韦达定理

线段AB的垂直平分线与x有交点，那么直线AB的斜率一定存在，所以可设直线AB的方程为：y=kx+m。再与椭圆方程联立消去y，就可以得到一个关于x的一元二次方程。接着根据韦达定理就可以求出A、B两点的横纵坐标之和，从而求出AB中点的坐标。

接下来用点斜式求出线段AB垂直平分线的方程，再求出x0，即x0=mk(b^2-a^2)/(a^2·k^2+b^2)。

然后根据AB中点在椭圆内部，则中点横坐标在(-a,a)的范围内，从而求出mk/(a^2k^2+b^2)的范围，代入即可求出x0的范围。

方法三：两点间距离

因为点P在线段AB的垂直平分线上，那么有：|PA|=|PB|。同方法一设出A、B点的坐标，则可以得到x1,y1,x2,y2,x0之间的关系。

又因为A、B在椭圆上，将坐标代入椭圆方程，从而可以消去y1,y2，进一步化简就可以求出x0，即x0=(x1+x2)(a^2-b^2)/2a^2，再根据x1+x2的范围就可以求出x0的范围。

方法四：共圆法

点P在线段AB的垂直平分线上那么以点P为圆心，以|PA|=r为半径的圆将同时经过A、B两点，且圆P的方程为：

(x-x0)^2+y^2=r^2。

将圆的方程与椭圆方程联立消去y，就得到关于x的一元二次方程，然后用韦达定理就可以表示出x0的值，从而这明结论。

本题作为一道压轴题，难度并不大，如果是你，你能得满分吗？

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