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数列的概念与简单表示法是必修几(数学必修五数列的概念与简单表示法)

考纲原文

(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数.

知识点详解

一、数列的相关概念

1.数列的定义

3.数列的分类

二、数列的表示方法

(1)列举法:将数列中的每一项按照项的序号逐一写出,一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况.

(2)解析法:主要有两种表示方法:

(3)图象法:数列是特殊的函数,可以用图象直观地表示.数列用图象表示时,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标描点画图.由此可知,数列的图象是无限个或有限个孤立的点.

三、数列的前n项和与通项的关系

考向分析

考向一 已知数列的前几项求通项公式

1.常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

具体策略:

①分式中分子、分母的特征;

②相邻项的变化特征;

③拆项后的特征;

④各项的符号特征和绝对值特征;

⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;

3.根据图形特征求数列的通项公式,首先要观察图形,寻找相邻的两个图形之间的变化,其次要把这些变化同图形的序号联系起来,发现其中的规律,最后归纳猜想出通项公式.

考向三 由递推关系式求通项公式

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难度适中,一般是通过变换转化成特殊的数列求解.

已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下:

考向四 数列的性质

数列可以看作是一类特殊的函数,所以数列具备函数应有的性质,在高考中常考查数列的单调性、周期性等.

1.数列的周期性

先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.

2.数列的单调性

(1)数列单调性的判断方法:

(2)数列单调性的应用:

①构造函数,确定出函数的单调性,进而可求得数列中的最大项或最小项.

(3)已知数列的单调性求解某个参数的取值范围,一般有两种方法:

①利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离参数将其转化为最值问题处理;

②利用数列与函数之间的特殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中n的取值范围.

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