二阶常系数齐次线性方程的通解(二阶常系数齐次线性微分方程怎么求通解)

导语：二阶常系数齐次线性方程通解推导（涉及常数变易法和欧拉公式）

欧拉恒等式

二阶微分方程明显比一阶难了很多，下面三图详细地对二阶常系数齐次线性方程的通解进行了推导。

有几下几点需要注意：

1、理解思路。

求二阶常系数齐次线性方程的解，一开始是靠猜的，因为以e为底数的指数函数，不论多少次求导，相差的都是常数系数，天然符合二阶常系数齐次线性方程。所以，我们先假定方程的解是一个e为底的指数函数，然后代回原方程反解出来这个函数，那么这个函数就是方程的解。

2、特征方程。

特征方程是假定好方程的解然后代回方程反解过程中产生的，因为方程是二阶的，所以出现了一个二次方程作为特征方程。

3、常数变易法。

当特征方程有两个相同实根的时候，相当于只求出了一个原方程的特解，所以需要使用常数变易法来再求一个特解。常数变异法简单说，就是把解中的常数换成函数，代回原方程反解出来这个函数，从而得到方程的解。一句话，猜解的结构，然后代回原方程反解出这个结构中未知的部分，得到方程解。

4、欧拉公式。

指数为复数的运算就得靠它了，著名的欧拉恒等式就能从它推导出来（彩图中的等式）。这是第一次在学习中涉及它。

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