立体几何垂直证明技巧(立体几何垂直证明题100道及答案高中)
导语：立体几何垂直证明的六大绝招，一看就会
六大绝招
类型一
利用已知垂直关系证垂直
例题：已知△ABC中，∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证:AD⊥面SBC
证明：
∵SA⊥面ABC ∴SA⊥BC
又∠ACB=90° ∴AC⊥BC
又AC，SA⊆面SAC ∴BC⊥面SAC
∴BC⊥AD
又AD⊥SC
且BC，SC⊆面SBC
∴AD⊥面SBC
变式：如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，求证：AD⊥AC
类型二
利用等腰三角形中线证垂直
例题：在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，求证PC⊥AB
证明：
取AB的中点M，连接PM，CM
∵AC=BC，M是AB的中点，∴AB⊥CM
∵AP=BP，M是AB的中点，∴AB⊥PM
∴AB⊥面PCM
∴AB⊥PC
变式：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD，求证面PAD⊥面PCD
类型三
利用勾股定理逆定理证垂直
例题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边成为3的正方形，PA⊥CD，PA=4，PD=5，求证：PA⊥面ABCD
证明：
∵PA=4，AB=3，PD=5
∴PA2+AB2=PD2，
∴三角形PAD是直角三角形，
∴PA⊥AD
又PA⊥CD，
∴PA⊥面ABCD
变式：如果，在三棱台ABC-DEF中，平面BDEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求证：BF⊥面ACFD
类型四
利用三角形全等证垂直
例题：如图，三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，求证：AB⊥PC
证明：
取AB的中点M，连接CM，
∵△PAB是等边三角形，∴PB=PA
又PC=PC，∠PAC=∠PBC=90°
∴△PBC≌△PAC，∴BC=AC
∴△ACB是等腰三角形，M是AB的中点，
∴CM⊥AB
又在等边△PAB中，M是AB的中点，∴PM⊥AB
∴AB⊥面PMC
∴AB⊥PC
变式：如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC=FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD=45°，求证：CD⊥BF
类型五
利用平行关系证明垂直
例题：如图四棱锥P-ABCD，底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，E是棱AB的中点，求证：面PCE⊥面PCD
证明：
分别做PC，PD的中点M，N两点，连接EM，MN，NA
∵MN为△PCD的中位线，
∴MN∥CD且MN=1/2CD
又∵E是AB的中点，
∴AE∥CD且AE=1/2CD
∴四边形AEMN是平行四边形，则EM∥AN，
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，
且∠PDA=45°，∴△PAD是等腰直角三角形
又N是PD中点，∴AN⊥PD
∵四边ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，又PA⊥CD，
∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AN，
又上面已求PD⊥AN，∴AN⊥面PCD
又∵EM∥AN，∴EM⊥面PCD
∵EM⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD
变式：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2，证明CD⊥面A1OC.
类型六
利用向量数量积证明垂直
例题：如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，证明：PA⊥BD。
证明：
取BC得中点O，连结PO，
∵平面PBC⊥底面ABCD，△PBC为等边三角形
∴PO⊥底面ABCD
以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系如下：
变式：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，D是CC1的中点，求证：AB1⊥面A1BD
常见的平面图形垂直模型
1. 等腰三角形的中线垂直底边
在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则有：AD⊥BC
2. 勾股定理的逆定理得到垂直
在三角形中，如果AB2+BC2=AC2，则有：AB⊥BC
3. 菱形的对角线互相垂直
已知四边形ABCD为菱形，两条对角线AC与BD相交与点O，则有：AC⊥BD
4. 矩形内部线段存在的垂直关系
四边形ABCD为矩形，如果AD:DE=AB:AD，则有：BD⊥AE
5. 直角梯形内部线段存在的垂直关系
a. 四边形ABCD为直角梯形，且CD⊥AD，CD∥AB，如果AD:DC=AB:AD，则有：BD⊥AC
b. 四边形ABCD为直角梯形，且CD⊥AD，CD∥AB，如果AD=DC=m，AB=2m，则
有：AC⊥BC
6. 等腰梯形内部线段存在的垂直关系
四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥DC，AD=BC，CE为等腰梯形ABCD的高，若CE=1/2(AB+CD)，则有：AC⊥BD
7. 圆的直径所对的圆周角为90°
AB为圆O的直径，C为圆上任意一点，则有：AC⊥BC
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