直线巧者(直线系怎么理解)

导语：“奇思妙想”直线系

一条直线方程（点斜式方程、斜截式方程、两点式方程、截距式方程、一般式方程、参数方程、极坐标方程）是同学们非常熟知的高中数学重要知识点之一，在一般的考试中考生都能应对自如。但是一堆直线（直线系）方程，不一定被每个高中学生都熟知，并灵活应用。

下面，系统性地介绍常见的直线系方程（结构、含义、来历，特征）与应用，深刻体会直线系在数学解题中的巧妙、快捷，并对比得出直线一般方程求解的繁琐。

【理论体系】

（1）平行直线系：与一条已知直线平行的所有直线

（2）垂直直线系：与一条已知直线垂直的所有直线

（3）过点直线系：经过已知两条直线交点的所有直线

【妙解试题】

（非直线系常规解）先计算出两条直线的交点，再根据两直线平行求出斜率，然后写出点斜式方程。

（过点线系巧妙解）先假设一堆过两条直线交点的直线系（引入待定参数），再根据两条直线平行，斜率相等求出参数，然后把参数代入，并化简得出直线一般式方程，最后检验舍去的直线是否符合题意。

（平行线系巧妙解）先假设一堆平行直线系（引入待定参数），在将求得的两条直线交点代入其中，得到参数具体取值，然后把参数代入，并化简得出直线一般式方程。

（过点线系快速解）先由过点直线系（整理方程）得出含参直线过定点，再计算出两点距离，然后由几何图形得出最大距离。

（非直线系麻烦解）先由点线距离公式得出函数解析式（由参数得出定义域），然后计算出函数的最值（判别式法），即最小距离。

（过点线系快速解）先由过点直线系（整理方程）得出含参直线各种过的定点，再计算出两点距离，然后由几何图形得出最大距离。

（非直线系麻烦解）先由平行线距离公式得出函数解析式（由参数得出定义域），然后计算出函数的最值（判别式法），即最小距离。

（非直线系麻烦解）先计算出两条直线的交点坐标（用参数分别表示），再根据交点在第一象限得出参数的不等式组，然后求解不等式组得出参数取值范围。

（过点线系快速解）先利用过点直线系求出含参直线所过的定点坐标，再直线系与线段相交求出斜率取值范围。

（非直线系麻烦解）利用分类讨论（当心直线无斜率）的方法讨论直线的位置关系，然后由直线不过第二象限得出直线斜率的取值范围。

（过点线系快速解）先由含参直线过定点（过点直线系）求出定点坐标，再考虑直线的位置关系（不过第二象限），然后求出直线斜率的取值范围。

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