绝对值之和小值问题口诀(绝对值之和的大值)
导语：「初中数学-提高篇」绝对值之和的最值问题
在初中阶段，我们会遇到这样一类题目，求几个绝对值之和的最值问题。例如，求y=|x-2|+|x+2|的最小值，求y=|x-5|+|x+1|+|x+4|的最小值。这类问题，令许多同学感到棘手。今天，我们就详细剖析一下解决此类问题的方法，希望对同学们有所帮助。
首先，我们要明白绝对值的意义。|x|可以写为|x-0|，表示数轴上数x到原点的距离。|x-3|表示数轴上数x到3的距离。|x+3|可以写为|x-(-3)|，表示数轴上数x到-3的距离。对于|x+a|可以写为|x-(-a)|，表示数轴上数x到-a的距离。下面我们由简入难开始探讨。
一、y=|x+a|的最值问题
对于y=|x+a|，当x取任意实数时，y≥0。当x取有限范围时，我们如何解决呢？
例：对于y=|x+1|，分别求出下列情况时的最值。
①当-5≤x≤-3时。②当-2≤x≤2时。③当x≥3时。
解法一、利用绝对值的意义
我们知道，y=|x+1|表示数轴上x点到-1的距离，那么通过数轴，我们可以很容易的解决此类问题。
①当-5≤x≤-3时，x到-1的距离最大值为当x=-5时的4，最小值为当x=-3时的2。故2≤y≤4。
②当-2≤x≤2时, x到-1的距离最大值为当x=2时的3，最小值为当x=-1时的0。故0≤y≤3。
③当x≥3时, x到-1的距离最大值不存在，最小值为当x=3时的4。故y≥4。
解法二、利用函数图像
我们可以采用数形结合的思想来解决此问题。首先，我们对y=|x+1|进行化简去绝对值如下：
绘出此分段函数图像如下：
然后将x的取值范围标在图像上，如下所示：
根据函数图像，我们也可以很容易得到三种情况下y的最值问题。
二、y=|x+a1|+|x+a2|(a1≠a2)的最值问题
例：求y=|x+1|+|x-1|的最值，此时x可以取任意实数。
解法一、利用绝对值的意义
y=|x+1|+|x-1|，表示数轴上x点到-1和1的距离之和。首先，我们画出数轴。
根据上图，我们可以总结如下：
①当x<-1时,x点到-1、1的距离之和最小值为当x=-1时的|-1+1|+|-1-1|=2,最大值不存在。故y>2。
②当-1≤x≤1时,x点到-1、1的距离之和为固定值2，也就是点1到-1的距离。故y=2。
③当x>1时,x点到-1、 1的距离之和最小值为当x=1时的|1+1|+|1-1|=2,最大值不存在。故y>2。
也就是说对于y=|x+1|+|x-1|，当-1≤x≤1时，y有最小值，最小值就是数轴上点1到-1的距离2。
同理，我们可以推出一般式y=|x+a1|+|x+a2|的最值问题。它的意义是数轴上x点到-a1和-a2的距离之和。它的最值是当-a1≤x≤-a2 (假设a1>a2)时，y有最小值，最小值就是数轴上-a2到-a1的距离|-a2-(-a1)|=|a1-a2|。
解法二、利用函数图像
首先，对y=|x+1|+|x-1|化简去绝对值如下：
绘出此分段函数图像如下：
通过此图像，我们也可很容易的得到y=|x+1|+|x-1|的最值问题。并且与利用绝对值得到的结论相同。
解法三、 利用不等式知识
根据解法二中化简后的函数，我们可以利用不等式的知识来解决，例如，当x<-1时，y=-2x>2。当x>1时，y=2x>2。
三、y=|x+a1|+|x+a2|+|x+a3|( a1、a2、a3互不相等)的最值问题
例：求y=|x+1|+|x-1|+|x-2|的最值，此时x可以取任意实数。
解法一、利用绝对值的意义
y=|x+1|+|x-1|+|x-2|，表示数轴上x点到-1、 1和2的距离之和。首先，我们画出数轴。
根据上图，我们可以总结如下：
①当x＜-1时,x点到-1、 1和2的距离之和最小值为当x=-1时的|-1+1|+|-1-1|+|-1-2|=5,最大值不存在。故y>5。
②当-1≤x≤1时,x点到-1、 1的距离之和为固定值2，那么x点到-1、 1和2的距离之和为2加上点x到2的距离。显然x点到2的距离最大值为当x=-1时的|-1-2|=3, 最小值为当x=1时的|1-2|=1。故3≤y≤5。
③当1＜x≤2时,x点到1、 2的距离之和为固定值1，那么x点到-1、 1和2的距离之和为1加上点x到-1的距离。显然x点到-1的距离最大值为当x=2时的|2+1|=3, 最小值为当x=1时的|1+1|=2。故3＜y≤4。
④当x>2时,x点到-1、 1和2的距离之和最小值为当x=2时的|2+1|+|2-1|+|2-2|=4,最大值不存在。故y>4。
也就是说对于y=|x+1|+|x-1|+|x-2|，当x=1时，y有最小值，最小值就是数轴上点2到-1的距离3。
同理，我们可以推出一般式y=|x+a1|+|x+a2|+|x+a3|的最值问题，它的意义是数轴上x点到-a1、-a2和-a3的距离之和。它的最值是当x=-a2 (假设a3<a2<a1)时，y有最小值，最小值就是数轴上-a3到-a1的距离|-a3-(-a1)|=|a1-a3|。
解法二、利用函数图像
首先，对y=|x+1|+|x-1|+|x-2|化简去绝对值如下：
绘出此分段函数图像如下：
通过此图像，我们也可很容易的得到y=|x+1|+|x-1|+|x-2|的最值问题,即当x=-1时，y有最小值3。
解法三、 利用不等式知识
此方法不再赘余，希望同学们自己加以研究。
四、y=|x+a1|+|x+a2|+……+|x+an|( a1、a2、……、an互不相等)的最值问题
根据以上三种情况的剖析，我们可以推及到n个绝对值之和的最值问题，它们具有以下规律：
根据绝对值的意义，y表示数轴上x点到点-a1、点-a2、……、点-an的距离之和，首先，将这些点一一标注在数轴上，然后分以下两种情况解决。
1、绝对值的个数为奇数时（n为奇数）
当x等于数轴上这n个点（从小到大排列）的中间那个点的值时，y有最小值，求最小值时，我们可以把这个数代入|x+a1|+|x+a2|+……+|x+an|即可。例如：y=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x-4|+|x-5|，表示x到-1，-2，-3，4，5的距离之和，当x取-3，-2，-1，4，5（从小到大排列）中间这个点-1时，y有最小值。最小值为y=|-1+1|+|-1+2|+|-1+3|+|-1-4|+|-1-5|=14。但y不存在最大值。
2、绝对值的个数为偶数时（n为偶数）
当x取数轴上这n个点（从小到大排列）的中间两个点之间的任意值时，y有最小值，求最小值时，我们可以在这两个点之间任意取一个值，把它代入|x+a1|+|x+a2|+……+|x+an|即可。例如：y=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x-4|+|x-5|+|x-8|，表示x到-1，-2，-3，4，5，8的距离之和，当x取-3，-2，-1，4，5，8（从小到大排列）中间两个点-1和4之间任意一个数时（即-1≤x≤4），y有最小值。我们可以取其中任意一个数，例如0，代入式中求出最小值为y=|0+1|+|0+2|+|0+3|+|0-4|+|0-5|+|0-8|=23。但y不存在最大值。
通过以上分析，我们总结出了求此类问题最值的规律，利用此规律，同学们可以很轻松的解决此类问题。但最重要的是希望同学们遇到问题时善于思考，勤于总结，这对同学们以后的学习会大有裨益。
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