一元函数的导数例题(一元函数导数的含义)
导语:每日一题 数学 第三章 一元函数导数及其应用 P3
解析
20.4 函数极值与最值:
1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;且在点x=b的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.注:①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)=0,极值点是f′(x)=0的根,但f′(x)=0的根不都是极值点 (例如f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点,不会是端点.
2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值
3.导数与零点、不等式:(1)导数零点:可构造函数,将俩曲线交点问题转化为函数零点问题。(2)不等式(恒成立):分离参数。构造函数。分类讨论。转化为函数最值问题。
4.常用结论(1)对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.(2)求最值时,注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.(3)函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念
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